前缀和的前缀和

题目描述

对于一个长度为的序列，其前缀和为前个元素的和，即。而前缀和的前缀和就是把前缀和序列作为原序列，再求一次前缀和。记再次求得的前缀和序列的第位为

现在给定一个长度为的序列，要执行次操作，有两种操作：

将的值改为

询问的值

输入格式

第一行两个整数n,m，分别表示序列长度和操作个数接下来一行有n个数，即给定的序列a1,a2,...,an 接下来m行，每行对应一个操作，格式见题面

输出格式

对于每个询问操作，输出一行，表示所询问的SS $i$ 的值

样例

【样例1输入】

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5 3
1 2 3 4 5
Query 5
Modify 3 2
Query 5

【样例1输出】

复制代码

35
32

【样例2输入】

复制代码

5 3
0 0 0 0 0
Query 5
Modify 1 1
Query 5

【样例2输出】

复制代码

0
5

【样例3输入】

复制代码

5 3
11 45 51 77 32
Query 1
Modify 3 93
Query 4

【样例3输出】

复制代码

11
442

数据范围与提示

1<=N,M<=100000,0<=Ai<=100000

保证输入合法，保证答案在long long 范围内

一些想法

这道题可以用双树状数组，但是不要用差分数组（因为这道题是求前缀和，而差分数组适用于区间求和，所以这题不适合用差分数组）。

先定义三个数组，一个储存原始数组的数，两个树状数组，用于处理前缀和。然后输入序列的数，然后将序列的数放入树状数组第 i 个位置。

输入操作，如果是修改操作，因为我们的函数是增加或减少的修改函数，但是这里是直接改变数值，那么我们可以先算出改变后的数与要改变的数差是多少，然后用修改函数将要改变的数增加差值就行了（修改树状数组），然后将原数组中要改变的数直接变成改变后的数，使三个数组同步。

查询前缀和的前缀和操作：直接调用函数输出，剩下的在自定义函数写即可。

自定义函数：

lowbit 函数：找一个数二进制中最后一个 1，树状数组划分区间用 lowbit 实现。

修改函数：这次也要新开一个数增加（不能用原数直接加），将维护数组的树状数组加增加的值（第一个数组），将维护数组 × 位置（第二个数组）也增加值（更新两个数组），注意这里乘的位置是函数调用的位置，不是循环中到达的位置。

通用查询数组前缀和函数（查询数组 1 ）：这个和之前的一样，求数组 1~对应数的前缀和，除了在变量多加一个数组（因为不是固定数组，可能是不同的数组，所以直接用调用时的数组），也是向下跳转区间，累加，返回区间和（也就是将一个区间分解成多个小区间，累加起来）。

求前缀和的前缀和（查询数组 2 ）函数：公式：(当前位置+1) × (维护数组的数组前缀和) - (维护数组×位置的数组前缀和)。作用：利用双树状数组快速计算原始数组前缀和的前缀和。这里求两个数组的前缀和要用到通用查询数组前缀和函数（查询数组1）。

注意：要用 long long，以免超出界限。

AC代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,a[100010],b1[100010],b2[100010];
long long lowbit(long long x){
	return x&-x;
}
void zs(long long x,long long y){//修改
	for(long long i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		b1[i]+=y;
		b2[i]+=x*y;
	}
}
long long sm1(long long b[],long long x){//查询函数1
	long long sum=0;
	for(;x>0;x-=lowbit(x)) sum+=b[x];
	return sum;
}
long long sm(long long x){//查询函数2
	return (x+1)*sm1(b1,x)-sm1(b2,x);
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		zs(i,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		string p;
		cin>>p;
		if(p=="Modify"){
			int x,y;
			cin>>x>>y;
			int s=y-a[x];
			a[x]=y;
			zs(x,s);
		}
		else{
			int x;
			cin>>x;
			cout<<sm(x)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}