2024年信奥赛C++提高组csp-s初赛真题及答案解析（阅读程序第3题）

第 3 题

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn = 1000000 + 5;
const int P1 = 998244353, P2 = 1000000007;
const int B1 = 2, B2 = 31;
const int K1 = 0, K2 = 13;
 
typedef long long ll;
 
int n;
bool p[maxn];
int p1[maxn], p2[maxn];
 
struct H {
    int h1, h2, l;
    H(bool b = false) {
        h1 = b + K1;
        h2 = b + K2;
        l = 1;
    }
 
    H operator + (const H & h) const {
        H hh;
        hh.l = l + h.l;
        hh.h1 = (1ll * h1 * p1[h.l] + h.h1) % P1;
        hh.h2 = (1ll * h2 * p2[h.l] + h.h2) % P2;
        return hh;
    }
 
    bool operator == (const H & h) const {
        return l == h.l && h1 == h.h1 && h2 == h.h2;
    }
 
    bool operator < (const H & h) const {
        if (l != h.l) return l < h.l;
        else if (h1 != h.h1) return h1 < h.h1;
        else return h2 < h.h2;
    }
} h[maxn];
 
void init() {
    memset(p, 1, sizeof(p));
    p[0] = p[1] = false;
    p1[0] = p2[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        p1[i] = (1ll * B1 * p1[i-1]) % P1;
        p2[i] = (1ll * B2 * p2[i-1]) % P2;
        if (!p[i]) continue;
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
            p[j] = false;
        }
    }
}
 
int solve() {
    for (int i = n; i; --i) {
        h[i] = H(p[i]);
        if (2 * i + 1 <= n) {
            h[i] = h[2 * i] + h[i] + h[2 * i + 1];
        } else if (2 * i <= n) {
            h[i] = h[2 * i] + h[i];
        }
    }
 
    cout << h[1].h1 << endl;
    sort(h + 1, h + n + 1);
    int m = unique(h + 1, h + n + 1) - (h + 1);
    return m;
}
 
int main() {
    cin >> n;
    init();
    cout << solve() << endl;
}

判断题

假设程序运行前能自动将 maxn 改为 n+1，所实现的算法的时间复杂度是 O(nlog⁡n)。（）

A. 正确 B. 错误
时间开销的瓶颈是 init() 函数。（）

A. 正确 B. 错误
若修改常数 B1 或 K1 的值，该程序可能会输出不同的结果。（）

A. 正确 B. 错误

选择题

在 solve() 函数中，h[] 的合并顺序可以看作是（）？

A. 二叉树的 BFS 序 B. 二叉树的先序遍历 C. 二叉树的中序遍历 D. 二叉树的后序遍历
输入 10，输出的第一行是？（）

A. 83 B. 424 C. 54 D. 110101000
输入 16，输出的第二行是？（）

A. 7 B. 9 C. 10 D. 12

题解

程序分析

该程序实现了一个基于双哈希的子树哈希计算算法，主要步骤包括：

初始化 ：使用筛法标记 1 到 n 中的质数，并预计算两个基数的幂（模 P1 和 P2）。
子树哈希计算 ：从 n 到 1 逆序遍历节点，将每个节点视为一棵二叉树的根（左子为 2*i，右子为 2*i+1），计算该子树的中序遍历字符串的双哈希值。
输出：第一行输出根节点 h[1] 的第一个哈希分量 h1；第二行输出所有子树哈希值中不同值的个数。

判断题解析

时间复杂度

程序包含三部分：
- init()：筛法复杂度为 O(n log log n)，预计算幂为 O(n)。
- solve()：遍历和合并哈希为 O(n)。
- 排序 h 数组为 O(n log n)。
  总时间复杂度由排序主导，为 O(n log n)，故正确。
对于较大的 n，排序的 O(n log n) 远大于 init() 的 O(n log log n)，因此瓶颈在排序而非 init()，故错误。
B1 和 K1 直接影响哈希值的计算，改变它们可能导致不同的哈希结果，从而影响输出，故正确。

选择题解析

对于节点 i，合并操作为 h[2*i] + h[i] + h[2*i+1]，对应二叉树的中序遍历（左子树 → 根 → 右子树），故选 C。
模拟计算得 h[1].h1 = 83，故选 A。
所有子树的中序遍历字符串共有 10 种不同的值，故不同哈希值的个数为 10，故选 C。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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int main(){
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