LeetCode Hot100（40/100）——78. 子集

文章目录

- 一、题目概述
- 二、思维导图
- 三、解法一：回溯法（Backtracking）
- - [1. 原理解析](#1. 原理解析)
  - [2. 递归流程图](#2. 递归流程图)
  - [3. Java 实现代码](#3. Java 实现代码)
  - [4. 时间与空间复杂度](#4. 时间与空间复杂度)
- 四、解法二：迭代法（Iterative）
- - [1. 原理解析](#1. 原理解析)
  - [2. 流程图](#2. 流程图)
  - [3. Java 实现代码](#3. Java 实现代码)
  - [4. 时间与空间复杂度](#4. 时间与空间复杂度)
- [五、解法三：位运算法（Bit Manipulation）](#五、解法三：位运算法（Bit Manipulation）)
- - [1. 原理解析](#1. 原理解析)
  - [2. 位运算流程图](#2. 位运算流程图)
  - [3. Java 实现代码](#3. Java 实现代码)
  - [4. 时间与空间复杂度](#4. 时间与空间复杂度)
- 六、综合对比
- 七、总结

一、题目概述

题目描述：

给定一个不含重复元素的数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

示例：

复制代码

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[3],[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

说明：

子集的数量为 2^n（n 为数组长度）。
子集顺序不重要。

二、思维导图

子集问题 Subsets
基本思路

枚举所有元素组合 - 每个元素有"选"或"不选"两种状态解法类别
回溯法
迭代法
位运算枚举法
分析维度
时间复杂度
空间复杂度
可扩展性

三、解法一：回溯法（Backtracking）

1. 原理解析

思想核心：

我们尝试对数组中的每个元素进行「选」或「不选」，通过回溯递归逐层构建所有可能的子集。

每进入一层递归，都表示我们正在考虑数组中的第 i 个元素是否放入当前子集。

2. 递归流程图

是
否
开始
调用 backtrack(\[\], 0)
idx == nums.length?
加入当前子集到结果集
不选择 nums $idx$
backtrack(current, idx+1)
选择 nums $idx$
backtrack(current+ $nums\[idx$ ], idx+1)
返回上一层

3. Java 实现代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Solution {
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        backtrack(res, new ArrayList<>(), nums, 0);
        return res;
    }

    private void backtrack(List<List<Integer>> res, List<Integer> temp, int[] nums, int start) {
        res.add(new ArrayList<>(temp));
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            temp.add(nums[i]);
            backtrack(res, temp, nums, i + 1);
            temp.remove(temp.size() - 1);
        }
    }
}

4. 时间与空间复杂度

时间复杂度： O(2^n)
每个元素可选或不选，共 2^n 种组合。
空间复杂度： O(n)（递归栈深度 + 临时子集存储）

四、解法二：迭代法（Iterative）

1. 原理解析

每加入一个新元素 x，都在当前已有子集中附加一份"包含该元素"的新子集。

例如：

复制代码

nums = [1,2,3]

初始: [[]]
加入 1: [[],[1]]
加入 2: [[],[1],[2],[1,2]]
加入 3: [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

2. 流程图

初始结果 $\[$ ]
遍历 nums
对当前结果集 res 中每个 subset 添加 nums $i$
更新结果集 res
完成所有遍历 → 返回 res

3. Java 实现代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Solution {
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        res.add(new ArrayList<>());
        for (int num : nums) {
            List<List<Integer>> newSubsets = new ArrayList<>();
            for (List<Integer> subset : res) {
                List<Integer> temp = new ArrayList<>(subset);
                temp.add(num);
                newSubsets.add(temp);
            }
            res.addAll(newSubsets);
        }
        return res;
    }
}

4. 时间与空间复杂度

时间复杂度： O(2^n * n)
每次复制已有子集列表。
空间复杂度： O(2^n * n)（存储全部子集）

五、解法三：位运算法（Bit Manipulation）

1. 原理解析

对每个整数从 0 到 2^n - 1，用其二进制位来表示「选中状态」：

二进制第 i 位为 1 表示选中 nums[i]；
为 0 表示未选。

例如：
nums = [1, 2, 3]

复制代码

000 -> []
001 -> [3]
010 -> [2]
011 -> [2,3]
100 -> [1]
101 -> [1,3]
110 -> [1,2]
111 -> [1,2,3]

2. 位运算流程图

for mask in (0 .. 2^n-1)
初始化空子集 subset
检查每一位 bit 是否为 1
若为1则加入对应 nums $i$
将 subset 加入结果集 res

3. Java 实现代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Solution {
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
            List<Integer> subset = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if ((mask & (1 << i)) != 0) {
                    subset.add(nums[i]);
                }
            }
            res.add(subset);
        }
        return res;
    }
}

4. 时间与空间复杂度

时间复杂度： O(2^n * n)
空间复杂度： O(2^n * n)

六、综合对比

解法	思路特点	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
回溯法	递归建树结构，自然	`O(2^n)`	`O(n)`	理解递归思路练习
迭代法	动态生成新子集	`O(2^n * n)`	`O(2^n * n)`	实现简单，非递归
位运算法	利用二进制状态枚举	`O(2^n * n)`	`O(2^n * n)`	高效、直观实现

七、总结

子集问题是典型的 组合枚举问题，关键在于理解「选与不选」的二元决策。
回溯法最直观；迭代法实现简洁；位运算法最具数学美感。
掌握这三种思路，将有助于解决其他与「组合 / 幂集 / 枚举」相关的问题，如：
- 子集和问题（Subset Sum）
- 子序列生成
- 组合总和（Combination Sum）