【例 3】凸多边形的划分（信息学奥赛一本通- P1571）

【题目描述】

给定一个具有 N 个顶点的凸多边形，将顶点从 1 至 N 标号，每个顶点的权值都是一个正整数。将这个凸多边形划分成 N−2 个互不相交的三角形，试求这些三角形顶点的权值乘积和至少为多少。

【输入】

输入第一行为顶点数 N

第二行依次为顶点 1 至顶点 N 的权值。

【输出】

输出仅一行，为这些三角形顶点的权值乘积和的最小值。

【输入样例】

5
121 122 123 245 231

【输出样例】

12214884

【提示】

数据范围与提示：

对于 100% 的数据，有 N≤50，每个点权值小于 109 。

在算法竞赛中，我们经常会遇到一类题目：数据规模N很小（例如），但涉及的数值运算却非常巨大，轻易就能挤爆long long。

今天我们要看的这道经典例题------凸多边形的划分 ，就是这样一个典型的组合题：它既需要区间动态规划 的思维，又需要处理超高精度的数值运算。

题目简述

给定一个具有N个顶点的凸多边形（），每个顶点都有一个权值（）。我们将这个多边形划分成N-2个互不相交的三角形。

划分的代价定义为：所有三角形的三个顶点的权值乘积之和。求最小的划分代价。

核心思路：区间动态规划

面对这种几何图形的分割问题，初学者往往容易陷入"几何切分"的死胡同。其实，我们应该将多边形的顶点看作一个线性的序列 。

我们的目标是解决整个区间1, N的问题。根据 DP 的思想，我们可以将其拆解为更小的子区间问题。

1. 状态定义

定义dpij表示：将顶点i到顶点j构成的子多边形（即顶点序列）划分成三角形所能得到的最小权值和。

• 目标：求dp1N。

• 边界条件：当区间长度为 2 时（例如dpii+1），只有两个点，无法构成三角形，代价为 0。

2. 状态转移方程

如何计算大的区间dpij？

我们可以逆向思考：在最终的划分方案中，底边(i, j)一定属于某一个三角形。假设这个三角形的第三个顶点是k。

为了能构成三角形(i, k, j)，顶点k必须严格位于i和j之间（即i<k<j）。

一旦选定了k，这个三角形就把问题划分成了三部分：

1. 左子问题：顶点i到k的最小划分代价，即dpik。

2. 右子问题：顶点k到j的最小划分代价，即dpkj。

3. 当前三角形代价 ：。

我们遍历所有可能的k，取最小值：

dpij =

隐藏的陷阱：数据溢出

DP 方程有了，看起来问题解决了。但且慢，看看数据范围：

每个权值。

计算一个三角形的代价需要三个权值相乘：。

• int 最大值约为。

• long long 最大值约为。

很显然， 远远超出了long long的承受范围。如果我们直接用 long long 计算，结果一定会溢出变成负数，导致答案错误。

物理外挂：__int128

在标准 C++ 中，要处理这么大的数，通常需要手写高精度结构体（BigInt）。但在竞赛环境中（使用 GCC 编译器），我们有一个"物理外挂"可以使用：__int128。

什么是 __int128？

它是一个 GCC 编译器扩展提供的 128 位整数类型，能存储高达的数值，足以应对本题的。它的加减乘除运算和普通整数一样方便。

唯一的缺点：I/O 问题

因为 __int128 不是 C++ 标准类型，标准的输入输出流（cin / cout）并不认识它。如果我们直接写 cout << dp[1][N]，编译器会报错。

因此，我们需要手写一个简单的输出函数（快写）。利用递归思想，将大数字拆解成一个个字符输出。

//手写输出函数
void print(int128 x){
    if(x>9) print(x/10);//递归打印前面的位
    putchar(x%10+'0');//打印最后一位
}

完整代码

结合区间 DP 的逻辑和 __int128 的高精度处理，我们可以写出最终的完整代码。

//这道题数据范围大 要用高精度 第一种用__int128
#include <iostream>
#include <algorithm>//min函数
#include <cstdio>//putchar
using namespace std;
typedef __int128 int128;
int n;
int a[110];//存每个点权值
int128 dp[110][110];//dp[i][j]代表i-j顶点区间内的权值乘积和的最小值

//手写输出函数
void print(int128 x){
    if(x>9) print(x/10);//递归打印前面的位
    putchar(x%10+'0');//打印最后一位
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];//存每个点权值
    //将DP数组初始化为一个极大的值（无穷大）
    //利用位运算(int128)1 << 120 可以安全地构造一个超大数
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
          dp[i][j]=(int128)1<<120;
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){//一个点或两个点所构成的区间无法构成三角形，因此权值为0
        dp[i][i]=0;
        dp[i][i+1]=0;
    }
    dp[n][n]=0; 
    //枚举区间长度len，从3开始，2个无法构成三角形
    for(int len=3;len<=n;len++){
        for(int i=1;i<=n-len+1;i++){//左端点
            int j=i+len-1;//右端点
        //枚举分割点k,k必须严格位于i和j之间 
        //k如果等于i或者j无法构成三角形
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+int128(a[i])*a[k]*a[j]);
            }
        }
    }
    print(dp[1][n]);
    return 0;
}

总结

这道题是区间DP分割类的经典例题。它教会了我们两件事：

1. 思维转换：将几何图形的分割问题转化为线性区间的合并问题。

2. 高精度意识 ：在计算乘积时，一定要估算最大可能的数值范围，当long long不够用时，果断使用 __int128（在允许的环境下）或手写高精度。