【计算机图形学中的四元数】1/2 Quaternions for Computer Graphics

Quaternions for Computer Graphics 计算机图形学中的四元数

文章目录

• [Quaternions for Computer Graphics 计算机图形学中的四元数](#Quaternions for Computer Graphics 计算机图形学中的四元数)
• • [1 介绍](#1 介绍)
  • [2 数集和代数](#2 数集和代数)
  • [3 复数](#3 复数)
  • [4 复平面](#4 复平面)
  • [5 三元数和四元数（Triples and Quaternions）](#5 三元数和四元数（Triples and Quaternions）)
  • [6 四元数代数](#6 四元数代数)

1 介绍

• 旋转变换：旋转变换包括方向余弦，欧拉角，欧拉 - 罗德里格斯参数化，四元数和多向量。
• 最后两种技术是最新的，并且具有历史相关性。

2 数集和代数

1. 集合（Number sets）：

   • 定义：集合是一些对象的集合。

   • 常见集合：

     数集	符号	数集	符号
     自然数	N \mathbb{N} N	实数	R \mathbb{R} R
     整数	Z Z Z	有理数	Q Q Q

2. 算术运算：

   • 我们使用加法、减法、乘法和除法运算来操作数字，其结果是闭的还是不闭的，或者是未定义的，这取决于底层集合。

3. 公理：

   • 结合律（associative axiom）： a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , a ( b c ) = ( a b ) c a+(b+c)=(a+b)+c,~a(bc)=(ab)c a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c
   • 交换律（commutative axiom）： a + b = b + a , a b = b a a+b=b+a,~ab=ba a+b=b+a, ab=ba
   • 分配律（distributive axiom）： a ( b + c ) = a b + a c , ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d a(b+c)=ab+ac,~(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd a(b+c)=ab+ac, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

4. 有序对（Ordered pairs）：

   • 定义：一个具有两个可区分部分的对象： ( a , b ) (a,b) (a,b)，使得 ( a , b ) ≠ ( b , a ) (a,b)\neq(b,a) (a,b)=(b,a)，除非 a = b a=b a=b。
   • 操纵有序对的方法：
     • 定义两个有序对的加法和乘法；
     • 定义有序对的标量乘法。

5. 群（Groups）：

   • 含义：一个群是由一个集合和一个二元运算组成的。
   • 定义：一个集合 S S S，配备了一个二元运算" ∘ \circ ∘"，若满足下列公理，则称其为一个群：
     • 封闭性 ：对于任意 a , b ∈ S a, b \in S a,b∈S，有 a ∘ b ∈ G a \circ b \in G a∘b∈G。
     • 结合律 ：对于任意 a , b , c ∈ S a, b, c \in S a,b,c∈S，有 ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) (a∘b)∘c=a∘(b∘c)。
     • 单位元 ：存在一个元素 e ∈ S e \in S e∈S，使得对于任意 a ∈ S a \in S a∈S，有 e ∘ a = a ∘ e = a e \circ a = a \circ e = a e∘a=a∘e=a。
     • 逆元 ：对于任意 a ∈ S a \in S a∈S，存在一个元素 a − 1 ∈ S a^{-1} \in S a−1∈S，使得 a ∘ a − 1 = a − 1 ∘ a = e a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e a∘a−1=a−1∘a=e。
   • 描述：将一个群描述为 ( S , ∘ ) (S,\circ) (S,∘)，其中 S S S是集合， ∘ \circ ∘是操作。
   • 例子：整数集 Z \mathbb{Z} Z在加法运算下构成一个群 ( Z , + ) (\mathbb{Z},+) (Z,+)；整数集 Z \mathbb{Z} Z在乘法运算下不构成一个群（逆元一般不是整数）；非零有理数集 Q Q Q在乘法运算下构成一个群 ( Q , × ) (\mathbb{Q},\times) (Q,×)。

6. 阿贝尔群（交换群）（Abelian Group）：

   • 含义：满足交换律的群。
   • 定义：添加一条公理
     • 交换性 ：对于任意 a , b ∈ S a, b \in S a,b∈S，有 a ∘ b = b ∘ a a \circ b = b \circ a a∘b=b∘a。
   • 例子：整数集 Z \mathbb{Z} Z在加法运算下构成一个阿贝尔群。
   • 注意：由于三维旋转一般不交换, 三维空间中所有旋转的集合形成了一个非交换群。

7. 环（Rings）：

   • 含义：扩展的群，一个环是由一个集合和两个二元运算（广义的"加法"和"乘法"）组成的。
   • 定义：一个集合 S S S，配备了两个二元运算" + + +"和" × \times ×"，若满足下列公理，则称其为一个群：
     • 加法群 ： S 关于加法" + + +"构成一个阿贝尔群。
     • 乘法封闭性 ：对于任意 a , b , c ∈ S a,b,c\in S a,b,c∈S，有 a × b ∈ S a\times b\in S a×b∈S。
     • 乘法结合律 ：对于任意 a , b , c ∈ S a,b,c\in S a,b,c∈S，有 ( a × b ) × c = a × ( b × c ) (a\times b)\times c=a\times(b\times c) (a×b)×c=a×(b×c)。
     • 分配律 ：对于任意 a , b , c ∈ S a, b, c \in S a,b,c∈S，有：
       • a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
       • ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
   • 注意：
     • 如果环还满足乘法交换律（即对于任意 a , b ∈ R a, b \in R a,b∈R，有 a ⋅ b = b ⋅ a a \cdot b = b \cdot a a⋅b=b⋅a），则称为交换环。
     • 环不要求满足乘法逆元。

8. 域（Fields）：

   • 含义：一个交换环，其中每个非零元素都有乘法逆元（即支持除0以外的除法）。

   • 定义：一个域 F F F 是一个交换环，且满足以下额外条件：

     • 乘法单位元 ：存在一个元素 1 ∈ F 1 \in F 1∈F，使得对于任意 a \\in F ，有 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a 1 \cdot a = a \cdot 1 = a 1⋅a=a⋅1=a。

     • 乘法逆元 ：对于任意非零元素 a ∈ F a \in F a∈F，存在一个元素 a − 1 ∈ F a^{-1} \in F a−1∈F，使得 a ⋅ a − 1 = a − 1 ⋅ a = 1 a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 a⋅a−1=a−1⋅a=1。

9. 除法环（Division Ring）：

   • 含义：每个非零元素都有逆元素的环。
   • 定义： ( S , + , × ) (S,+,\times) (S,+,×)是一个除法环，若满足以下几条要求：
     • 加法结合律 ： ( a + b ) + c = A + ( b + c ) a , b , c ∈ S (a+b)+c=A+(b+c)~~~a,b,c\in S (a+b)+c=A+(b+c) a,b,c∈S
     • 加法交换律 ： a + b = b + a , a , b ∈ S a+b=b+a,~~~a,b\in S a+b=b+a, a,b∈S
     • 加法单位元 ： 0 + a = a + 0 = a , a , 0 ∈ S 0+a=a+0=a,~~~a,0\in S 0+a=a+0=a, a,0∈S
     • 加法逆元 ： a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 , a , − a ∈ S a+(-a)=(-a)+a=0,~~~a,-a\in S a+(−a)=(−a)+a=0, a,−a∈S
     • 乘法结合律 ： ( a × b ) × c = a × ( b × c ) , a , b , c ∈ S (a\times b)\times c=a\times(b\times c),~~~a,b,c\in S (a×b)×c=a×(b×c), a,b,c∈S
     • 乘法单位元 ： 1 × a = a × 1 = a , a , 1 ∈ S 1\times a=a\times 1=a,~~~a,1\in S 1×a=a×1=a, a,1∈S
     • 乘法逆元 ： a × a − 1 = a − 1 × a = 1 , a , a − 1 ∈ S , a ≠ 0 a\times a^{-1}=a^{-1}\times a=1,~~~a,a^{-1}\in S,a\neq0 a×a−1=a−1×a=1, a,a−1∈S,a=0
     • 分配律 ： a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) , ( b + c ) × a = ( b × a ) + ( c × a ) , a , b , c , ∈ S a\times(b+c)=(a\times b)+(a\times c),~(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a),~~~a,b,c,\in S a×(b+c)=(a×b)+(a×c), (b+c)×a=(b×a)+(c×a), a,b,c,∈S
   • 只有三个符合结合律的除法环：实数 R \mathbb{R} R，复数 C \mathbb{C} C，四元数 H \mathbb{H} H。

3 复数

1. 虚数：

   • 定义： i R i\mathbb{R} iR是虚数集： i b ∈ i R , i 2 = − 1 ib\in i\mathbb{R},i^2=-1 ib∈iR,i2=−1。

   • 复数
     Real unit: 1 Imaginary unit: i \text{Real unit: }1\\\text{Imaginary unit: }i Real unit: 1Imaginary unit: i

   • 有序对形式
     1 = ( 1 , 0 ) i = ( 0 , 1 ) 1 = (1,0)\\i = (0,1) 1=(1,0)i=(0,1)

   • 矩阵形式
     1 = [ 1 0 0 1 ] i = [ 0 − 1 1 0 ] 1 = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \\ i = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix} 1=[1001]i=[01−10]

2. 复数：

   • 定义：复数是实数和虚数的组合，并表示为： z = a + b i , a , b ∈ R , i 2 = − 1 z=a+bi,~a,b\in\mathbb{R},i^2=-1 z=a+bi, a,b∈R,i2=−1。复数集用 C \mathbb{C} C表示。

   • 有序对形式
     z = ( a , b ) z=(a,b) z=(a,b)

   • 矩阵形式
     a + b i = [ a − b b a ] a+bi=\begin{bmatrix} a&-b\\b&a \end{bmatrix} a+bi=[ab−ba]

3. 加减法（Addition and Subtraction）：

   • 复数
     z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i z 1 ± z 2 = a 1 ± a 2 + ( b 1 ± b 2 ) i \begin{aligned} z_1 &= a_1+b_1i\\ z_2 &= a_2+b_2i\\ z_1\pm z_2 &= a_1\pm a_2 + (b_1\pm b_2)i \end{aligned} z1z2z1±z2=a1+b1i=a2+b2i=a1±a2+(b1±b2)i

   • 有序对
     z 1 = ( a 1 , b 1 ) z 2 = ( a 2 , b 2 ) z 1 ± z 2 = ( a 1 ± a 2 , b 1 ± b 2 ) \begin{aligned} z_1 &= (a_1,b_1)\\ z_2 &= (a_2,b_2)\\ z_1\pm z_2 &= (a_1\pm a_2,b_1\pm b_2) \end{aligned} z1z2z1±z2=(a1,b1)=(a2,b2)=(a1±a2,b1±b2)

   • 矩阵
     z 1 = [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] z 2 = [ a 2 − b 2 b 2 a 2 ] z 1 ± z 2 = [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] ± [ a 2 − b 2 b 2 a 2 ] = [ a 1 ± a 2 − ( b 1 ± b 2 ) b 1 ± b 2 a 1 ± a 2 ] \begin{aligned} z_1 &= \begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\\ z_2 &= \begin{bmatrix} a_2&-b_2\\b_2&a_2 \end{bmatrix}\\ z_1 \pm z_2 &= \begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\pm\begin{bmatrix} a_2&-b_2\\b_2&a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1\pm a_2&-(b_1\pm b_2)\\b_1\pm b_2&a_1\pm a_2 \end{bmatrix} \end{aligned} z1z2z1±z2=[a1b1−b1a1]=[a2b2−b2a2]=[a1b1−b1a1]±[a2b2−b2a2]=[a1±a2b1±b2−(b1±b2)a1±a2]

4. 乘积（product）：

   • 复数
     z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i z 1 z 2 = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i \begin{aligned} z_1 &= a_1+b_1i\\ z_2 &= a_2+b_2i\\ z_1 z_2 &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i \end{aligned} z1z2z1z2=a1+b1i=a2+b2i=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i

   • 有序对
     z 1 = ( a 1 , b 1 ) z 2 = ( a 2 , b 2 ) z 1 z 2 = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 ) \begin{aligned} z_1 &= (a_1,b_1)\\ z_2 &= (a_2,b_2)\\ z_1z_2 &= (a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2) \end{aligned} z1z2z1z2=(a1,b1)=(a2,b2)=(a1a2−b1b2,a1b2+b1a2)

   • 矩阵
     z 1 = [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] z 2 = [ a 2 − b 2 b 2 a 2 ] z 1 z 2 = [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] [ a 2 − b 2 b 2 a 2 ] = [ a 1 a 2 − b 1 b 2 − ( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) a 1 b 2 + b 1 a 2 a 1 a 2 − b 1 b 2 ] \begin{aligned} z_1 &= \begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\\ z_2 &= \begin{bmatrix} a_2&-b_2\\b_2&a_2 \end{bmatrix}\\ z_1 z_2 &= \begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_2&-b_2\\b_2&a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-b_1b_2 \end{bmatrix} \end{aligned} z1z2z1z2=[a1b1−b1a1]=[a2b2−b2a2]=[a1b1−b1a1][a2b2−b2a2]=[a1a2−b1b2a1b2+b1a2−(a1b2+b1a2)a1a2−b1b2]

5. 平方（square）：

   • 复数
     z = a + b i z 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 a b i \begin{aligned} z &=a+bi\\ z^2 &= (a^2-b^2)+2abi \end{aligned} zz2=a+bi=(a2−b2)+2abi

   • 有序对
     z = ( a , b ) z 2 = ( a 2 − b 2 , 2 a b ) \begin{aligned} z &= (a,b)\\ z^2 &= (a^2-b^2,2ab) \end{aligned} zz2=(a,b)=(a2−b2,2ab)

   • 矩阵
     z = [ a − b b a ] z 2 = [ a 2 − b 2 − 2 a b 2 a b a 2 − b 2 ] \begin{aligned} z &= \begin{bmatrix}a&-b\\b&a \end{bmatrix} \\ z^2 &= \begin{bmatrix} a^2-b^2&-2ab\\2ab&a^2-b^2 \end{bmatrix} \end{aligned} zz2=[ab−ba]=[a2−b22ab−2aba2−b2]

6. 范数（Norm）：

   • 复数
     z = a + b i ∣ z ∣ = a 2 + b 2 \begin{aligned} z &= a+bi\\ |z| &= \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned} z∣z∣=a+bi=a2+b2

   • 有序对
     z = ( a , b ) ∣ z ∣ = a 2 + b 2 \begin{aligned} z &=(a,b)\\ |z| &=\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned} z∣z∣=(a,b)=a2+b2

   • 矩阵
     z = [ a − b b a ] ∣ z ∣ 2 = ∣ a − b b a ∣ \begin{aligned} z &= \begin{bmatrix} a&-b\\b&a \end{bmatrix}\\ |z|^2 &= \begin{vmatrix} a&-b\\b&a \end{vmatrix} \end{aligned} z∣z∣2=[ab−ba]= ab−ba

7. 复共轭（Complex conjugate）：

   • 复数
     z = a + b i z ∗ = a − b i \begin{aligned} z &= a+bi\\ z^* &= a-bi \end{aligned} zz∗=a+bi=a−bi

   • 有序对
     z = ( a , b ) z ∗ = ( a , − b ) \begin{aligned} z &=(a,b)\\ z^* &=(a,-b) \end{aligned} zz∗=(a,b)=(a,−b)

   • 矩阵
     z = [ a − b b a ] z ∗ = [ a b − b a ] \begin{aligned} z &= \begin{bmatrix}a&-b\\b&a \end{bmatrix}\\ z^* &= \begin{bmatrix}a&b\\-b&a \end{bmatrix} \end{aligned} zz∗=[ab−ba]=[a−bba]

8. 逆（Inverse）：

   • 复数
     z = a + b i z − 1 = z ∗ ∣ z ∣ 2 = ( a a 2 + b 2 ) − ( b a 2 + b 2 ) i \begin{aligned} z &= a+bi \\ z^{-1} &= \frac{z^*}{|z|^2} = (\frac{a}{a^2+b^2})-(\frac{b}{a^2+b^2})i \end{aligned} zz−1=a+bi=∣z∣2z∗=(a2+b2a)−(a2+b2b)i

   • 有序对
     z = ( a , b ) z ∗ = ( a , − b ) ∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 1 z = z − 1 = z ∗ ∣ z ∣ 2 = ( a a 2 + b 2 , − b a 2 + b 2 ) \begin{aligned} z &=(a,b)\\ z^* &=(a,-b)\\ |z|^2 &= a^2+b^2\\ \frac{1}{z}&=z^{-1}=\frac{z^*}{|z|^2}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) \end{aligned} zz∗∣z∣2z1=(a,b)=(a,−b)=a2+b2=z−1=∣z∣2z∗=(a2+b2a,a2+b2−b)

   • 矩阵
     z = [ a − b b a ] z ∗ = [ a b − b a ] ∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 1 z = z − 1 = z ∗ ∣ z ∣ 2 = 1 a 2 + b 2 [ a b − b a ] \begin{aligned} z &= \begin{bmatrix}a&-b\\b&a \end{bmatrix}\\ z^* &= \begin{bmatrix}a&b\\-b&a \end{bmatrix}\\ |z|^2 &=a^2+b^2\\ \frac{1}{z}&=z^{-1}=\frac{z^*}{|z|^2}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{bmatrix}a&b\\-b&a \end{bmatrix} \end{aligned} zz∗∣z∣2z1=[ab−ba]=[a−bba]=a2+b2=z−1=∣z∣2z∗=a2+b21[a−bba]

9. 商（Quotient）：

   • 复数
     z 1 = a 1 + b 1 i z 2 = a 2 + b 2 i z 1 z 2 = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 ) + ( b 1 a 2 − a 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 ) \begin{aligned} z_1 &= a_1+b_1i\\ z_2 &= a_2+b_2i\\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}=(\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2})+(\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}) \end{aligned} z1z2z2z1=a1+b1i=a2+b2i=a2+b2ia1+b1i=(a22+b22a1a2+b1b2)+(a22+b22b1a2−a1b2)

   • 有序对
     z 1 = ( a 1 , b 1 ) z 2 = ( a 2 , b 2 ) z 1 z 2 = ( a 1 , b 1 ) ( a 2 , b 2 ) = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 , b 1 a 2 − a 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 ) \begin{aligned} z_1 &= (a_1,b_1)\\ z_2 &= (a_2,b_2)\\ \frac{z_1}{z_2}&=\frac{(a_1,b_1)}{(a_2,b_2)}=(\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2},\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}) \end{aligned} z1z2z2z1=(a1,b1)=(a2,b2)=(a2,b2)(a1,b1)=(a22+b22a1a2+b1b2,a22+b22b1a2−a1b2)

   • 矩阵
     z 1 = [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] z 2 = [ a 2 − b 2 b 2 a 2 ] z 1 z 2 = z 1 z 2 1 = 1 a 2 2 + b 2 2 [ a 1 − b 1 b 1 a 1 ] [ a 2 b 2 − b 2 a 2 ] = 1 a 2 2 + b 2 2 [ a 1 a 2 + b 1 b 2 − ( b 1 a 2 − a 1 b 2 ) b 1 a 2 − a 1 b 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 ] \begin{aligned} z_1 &= \begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\\ z_2 &= \begin{bmatrix} a_2&-b_2\\b_2&a_2 \end{bmatrix}\\ \frac{z_1}{z_2} &=z_1z_2^{_1} =\frac{1}{a_2^2+b_2^2}\begin{bmatrix} a_1&-b_1\\b_1&a_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_2&b_2\\-b_2&a_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{a_2^2+b_2^2} \begin{bmatrix} a_1a_2+b_1b_2&-(b_1a_2-a_1b_2)\\b_1a_2-a_1b_2&a_1a_2+b_1b_2 \end{bmatrix} \end{aligned} z1z2z2z1=[a1b1−b1a1]=[a2b2−b2a2]=z1z21=a22+b221[a1b1−b1a1][a2−b2b2a2]=a22+b221[a1a2+b1b2b1a2−a1b2−(b1a2−a1b2)a1a2+b1b2]

10. ± i \pm i ±i的平方根（Square root）：

    • 复数
      i = ± 2 2 ( 1 + i ) − i = ± 2 2 ( 1 − i ) \begin{aligned} \sqrt{i} &=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\\ \sqrt{-i} &= \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) \end{aligned} i −i =±22 (1+i)=±22 (1−i)

    • 有序对
      i = ± 2 2 ( 1 , 1 ) − i = ± 2 2 ( 1 , − 1 ) \begin{aligned} \sqrt{i} &= \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1,1)\\ \sqrt{-i} &=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1,-1) \end{aligned} i −i =±22 (1,1)=±22 (1,−1)

    • 矩阵
      i = ± 2 2 [ 1 − 1 1 1 ] − i = ± 2 2 [ 1 1 − 1 1 ] \begin{aligned} \sqrt{i} &= \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1&-1\\1&1 \end{bmatrix}\\ \sqrt{-i} &= \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1&1\\-1&1 \end{bmatrix} \end{aligned} i −i =±22 [11−11]=±22 [1−111]

11. 说明：

    • 我们在本章中已经表明，复数集是一个域，因为它们满足了闭合性、结合性、分布性、单位元素和逆的要求。
    • 我们还表明，复数和有序对之间存在一一对应关系，并且复数可以表示为矩阵，这允许我们将所有复数运算计算为矩阵运算或有序对。

4 复平面

1. 欧拉公式：

   • 公式： e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ
   • 当 θ = π \theta=\pi θ=π时，有： e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0。它集成了5个重要常数： 0 , 1 , e , π , i 0,1,e,\pi,i 0,1,e,π,i，以及基本地算术运算：加法，乘法，幂。
   • 当 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ=π/2时，有： e i π / 2 = cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2 = i e^{i\pi/2}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i eiπ/2=cos2π+isin2π=i。
   • 进一步有： i i = ( e i π / 2 ) i = e i 2 π / 2 = e − π / 2 = 0.207879576 ... i^i=(e^{i\pi/2})^i=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0.207879576\ldots ii=(eiπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0.207879576...。

2. 复平面：

   • 复平面使我们能够可视化复数，横轴记录实数部分，纵轴记录虚数部分。
   • 乘以 i i i相当于逆时针旋转 90 ° 90\degree 90°，乘以 − i -i −i相当于顺时针旋转 90 ° 90\degree 90°，可以构造一个能够使另一个复数旋转任意角度的复数。

3. 复数
   z = a + b i ∣ z ∣ = a 2 + b 2 \begin{aligned} z &= a+bi \\ |z| &= \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned} z∣z∣=a+bi=a2+b2

4. 极坐标形式：

   • 极坐标的元素：

     • 径向距离 r r r： r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} r=∣z∣=a2+b2
     • 极角 a r g ( z ) = θ arg(z)=\theta arg(z)=θ： tan ⁡ θ = b a , { θ = arctan ⁡ ( b / a ) , a > 0 , b > 0 θ = arctan ⁡ ( b / a ) + π , a < 0 θ = arctan ⁡ ( b / a ) + 2 π , a > 0 , b < 0 \tan\theta=\frac{b}{a},\begin{cases} \theta=\arctan(b/a),&a>0,b>0\\ \theta=\arctan(b/a)+\pi,&a<0\\ \theta=\arctan(b/a)+2\pi,&a>0,b<0 \end{cases} tanθ=ab,⎩ ⎨ ⎧θ=arctan(b/a),θ=arctan(b/a)+π,θ=arctan(b/a)+2π,a>0,b>0a<0a>0,b<0

   • 复数 z z z表示为极坐标形式
     z = r e i θ , z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) , r = ∣ z ∣ tan ⁡ θ = b / a , θ = a r g ( z ) , { θ = arctan ⁡ ( b / a ) , a > 0 , b > 0 θ = arctan ⁡ ( b / a ) + π , a < 0 θ = arctan ⁡ ( b / a ) + 2 π , a > 0 , b < 0 z=re^{i\theta},~~~z=r(\cos\theta+i\sin\theta),~~~r=|z| \\ \tan\theta=b/a,~~~\theta=arg(z),~~~\begin{cases} \theta=\arctan(b/a),&a>0,b>0\\ \theta=\arctan(b/a)+\pi,&a<0\\ \theta=\arctan(b/a)+2\pi,&a>0,b<0 \end{cases} z=reiθ, z=r(cosθ+isinθ), r=∣z∣tanθ=b/a, θ=arg(z), ⎩ ⎨ ⎧θ=arctan(b/a),θ=arctan(b/a)+π,θ=arctan(b/a)+2π,a>0,b>0a<0a>0,b<0

5. 极坐标的乘积
   z = r e i θ , w = s e i ϕ z w = r s e i ( θ + ϕ ) = r s [ cos ⁡ ( θ + ϕ ) + i sin ⁡ ( θ + ϕ ) ] z=re^{i\theta},~~~w=se^{i\phi} \\ zw = rse^{i(\theta+\phi)} = rs[\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)] z=reiθ, w=seiϕzw=rsei(θ+ϕ)=rs[cos(θ+ϕ)+isin(θ+ϕ)]

6. 极坐标的商
   z w = r s e i ( θ − ϕ ) = r s [ cos ⁡ ( θ − ϕ ) + i sin ⁡ ( θ − ϕ ) ] \frac{z}{w}=\frac{r}{s}e^{i(\theta-\phi)} = \frac{r}{s}[\cos(\theta-\phi)+i\sin(\theta-\phi)] wz=srei(θ−ϕ)=sr[cos(θ−ϕ)+isin(θ−ϕ)]

7. 旋转子（Rotors）：

   • e i θ e^{i\theta} eiθ能使任何复数旋转角度 θ \theta θ而不带来尺度变化：

     • 为了使一个复数 x + y i x+yi x+yi旋转角度 θ \theta θ，可以使其乘以旋转子 cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ \cos\theta+i\sin\theta cosθ+isinθ，其矩阵形式为

       x ′ i y ′ \] = \[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ \] \[ x i y \] \\begin{bmatrix}x'\\\\iy' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\\cos\\theta\&-\\sin\\theta\\\\ \\sin\\theta\&\\cos\\theta \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\iy \\end{bmatrix} \[x′iy′\]=\[cosθsinθ−sinθcosθ\]\[xiy

     • 为了使一个复数 x + y i x+yi x+yi旋转角度 − θ -\theta −θ，可以使其乘以旋转子 cos ⁡ θ − i sin ⁡ θ \cos\theta-i\sin\theta cosθ−isinθ，其矩阵形式为

       x ′ i y ′ \] = \[ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ \] \[ x i y \] \\begin{bmatrix}x'\\\\iy' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\\cos\\theta\&\\sin\\theta\\\\ -\\sin\\theta\&\\cos\\theta \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\iy \\end{bmatrix} \[x′iy′\]=\[cosθ−sinθsinθcosθ\]\[xiy

   • 定义：旋转子 R θ \mathbf{R}\theta Rθ和共轭 R θ † \mathbf{R}\theta^\dagger Rθ†
     R θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ R θ † = cos ⁡ θ − i sin ⁡ θ \begin{aligned} \mathbf{R}\theta &= \cos\theta + i\sin\theta \\ \mathbf{R}\theta^\dagger &= \cos\theta - i\sin\theta \end{aligned} RθRθ†=cosθ+isinθ=cosθ−isinθ

   • 几何意义： R θ \mathbf{R}\theta Rθ旋转 + θ +\theta +θ，而 R θ † \mathbf{R}\theta^\dagger Rθ†旋转 − θ -\theta −θ。

5 三元数和四元数（Triples and Quaternions）

1. 三元数

   • 假设有一个三维复数可以被三元数表示： z = x + i y + i z \boldsymbol{z}=x+iy+iz z=x+iy+iz，其中 i 2 = j 2 = − 1 i^2=j^2=-1 i2=j2=−1，其平方为
     z 2 = ( x + i y + i z ) ( x + i y + i z ) = x 2 − y 2 − z 2 + 2 i x y + 2 j x y + 2 i j y z \boldsymbol{z}^2=(x+iy+iz)(x+iy+iz)=x^2-y^2-z^2+2ixy+2jxy+2ijyz z2=(x+iy+iz)(x+iy+iz)=x2−y2−z2+2ixy+2jxy+2ijyz
     由于 2 i j y z 2ijyz 2ijyz项的存在，该乘法不封闭。

2. 四元数的诞生

   • 引入 k k k定义为 i i i和 j j j的乘积： k = i j k=ij k=ij。

   • 假设一个三维复数可以用四元数表示： z = a + b i + c j + d k \boldsymbol{z}=a+bi+cj+dk z=a+bi+cj+dk，其中 i 2 = j 2 = k 2 = − 1 i^2=j^2=k^2=-1 i2=j2=k2=−1。

   • 同时，四元数的实部称为标量（纯量），虚部称为向量。

6 四元数代数

1. Hamilton原始定义
   q = s + x i + y j + z k q = s + v q = [ s , v ] \begin{aligned} q &= s+xi+yj+zk \\ q &= s+\boldsymbol{v}\\ q &= [s,\boldsymbol{v}]\\ \end{aligned} qqq=s+xi+yj+zk=s+v=[s,v]

   where s , x , y , z ∈ R , v ∈ R 3 and i 2 = j 2 = k 2 = − 1 \text{where }s,x,y,z\in\mathbb{R},~\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3 \text{ and }i^2=j^2=k^2=-1 where s,x,y,z∈R, v∈R3 and i2=j2=k2=−1

   通过将 i , j , k i,j,k i,j,k表示为有序对形式 i = [ 0 , i ] , j = [ 0 , j ] , k = [ 0 , k ] i=[0,\boldsymbol{i}],j=[0,\boldsymbol{j}],k=[0,\boldsymbol{k}] i=[0,i],j=[0,j],k=[0,k]，可以转化为有序对形式的定义。

   代数定义（有序对形式）：

   • 一个四元数是一个有序对： q = [ s , v ] , s ∈ R , v ∈ R 3 q=[s,\boldsymbol{v}],~s\in\mathbb{R},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3 q=[s,v], s∈R,v∈R3
   • 如果将 v \boldsymbol{v} v用其元素来表示，有： q = [ s , x i + y j + z k ] , s , x , y , z ∈ R q=[s,x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}],~s,x,y,z\in\mathbb{R} q=[s,xi+yj+zk], s,x,y,z∈R

2. 四元数定义（有序对形式）
   q a = [ s a , a ] = [ s a , x a i + y a j + z a k ] q b = [ s b , b ] = [ s b , x b i + y b j + z b k ] \begin{aligned} q_a &= [s_a,\boldsymbol{a}] = [s_a, x_a\boldsymbol{i}+y_a\boldsymbol{j}+z_a\boldsymbol{k}] \\ q_b &= [s_b,\boldsymbol{b}] = [s_b, x_b\boldsymbol{i}+y_b\boldsymbol{j}+z_b\boldsymbol{k}] \end{aligned} qaqb=[sa,a]=[sa,xai+yaj+zak]=[sb,b]=[sb,xbi+ybj+zbk]

3. 加法和减法
   q a ± q b = [ s a ± s b , a ± b ] q_a \pm q_b = [s_a\pm s_b,\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}] qa±qb=[sa±sb,a±b]

4. 乘积（有序对形式与矩阵形式）
   q a q b = [ s a , a ] [ s b , b ] = [ s a s b − a ⋅ b , s a b + s b a + a × b ] = [ s a − x a − y a − z a x a s a − z a y a y a z a s a − x a z a − y a x a s a ] [ s b x b y b z b ] \begin{aligned} q_aq_b &= [s_a,\boldsymbol{a}][s_b,\boldsymbol{b}] \\ &= [s_as_b-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},s_a\boldsymbol{b}+s_b\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}] \\ &= \begin{bmatrix} s_a &-x_a &-y_a &-z_a \\x_a &s_a &-z_a &y_a \\y_a &z_a &s_a &-x_a \\z_a &-y_a &x_a &s_a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} s_b\\x_b\\y_b\\z_b \end{bmatrix} \end{aligned} qaqb=[sa,a][sb,b]=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]= saxayaza−xasaza−ya−ya−zasaxa−zaya−xasa sbxbybzb

   叉乘（叉积）是向量运算中的一种，适用于三维空间中的向量，叉乘的结果是一个垂直于两个向量的向量。对于两个三维向量 a = [ a 1 , a 2 , a 3 ] \boldsymbol{a}=[a_1,a_2,a_3] a=[a1,a2,a3]和 b = [ b 1 , b 2 , b 3 ] \boldsymbol{b}=[b_1,b_2,b_3] b=[b1,b2,b3]，它们的叉乘公式如下
   a × b = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = i ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) + j ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) + k ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) \begin{aligned} \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} &= \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 & a_3b_1-a_1b_3 & a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(a_2b_3-a_3b_2)+\boldsymbol{j}(a_3b_1-a_1b_3)+\boldsymbol{k}(a_1b_2-a_2b_1) \end{aligned} a×b=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]= ia1b1ja2b2ka3b3 =i(a2b3−a3b2)+j(a3b1−a1b3)+k(a1b2−a2b1)

   特别地，有
   v = x i + y j + z k q 2 = [ s , v ] [ s , v ] = [ s 2 − x 2 − y 2 − z 2 , 2 s ( x i + y j + z k ) ] \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} \\ q^2 &= [s,\boldsymbol{v}][s,\boldsymbol{v}] = [s^2-x^2-y^2-z^2,2s(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k})] \end{aligned} vq2=xi+yj+zk=[s,v][s,v]=[s2−x2−y2−z2,2s(xi+yj+zk)]

5. 实四元数与纯四元数

   • 实四元数：虚部为零的四元数，乘法性质与实数乘法一致
     q a = [ s a , 0 ] q b = [ s b , 0 ] q a q b = [ s a , 0 ] [ s b , 0 ] = [ s a s b , 0 ] \begin{aligned} q_a &= [s_a,\boldsymbol{0}]\\ q_b &= [s_b,\boldsymbol{0}]\\ q_aq_b &= [s_a,\boldsymbol{0}][s_b,\boldsymbol{0}]=[s_as_b,\boldsymbol{0}] \end{aligned} qaqbqaqb=[sa,0]=[sb,0]=[sa,0][sb,0]=[sasb,0]

     特别地，有
     q = [ s , 0 ] q 2 = [ s , 0 ] [ s , 0 ] = [ s 2 , 0 ] \begin{aligned} q &= [s, \boldsymbol{0}] \\ q^2 &= [s,\boldsymbol{0}][s,\boldsymbol{0}] = [s^2,\boldsymbol{0}] \end{aligned} qq2=[s,0]=[s,0][s,0]=[s2,0]

   • 纯四元数：实部为零的四元数，乘法性质与向量叉积相关
     q a = [ 0 , a ] q b = [ 0 , b ] q a q b = [ 0 , a ] [ 0 , b ] = [ − a ⋅ b , a × b ] \begin{aligned} q_a &= [0,\boldsymbol{a}]\\ q_b &= [0,\boldsymbol{b}]\\ q_aq_b &= [0,\boldsymbol{a}][0,\boldsymbol{b}]=[-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}] \end{aligned} qaqbqaqb=[0,a]=[0,b]=[0,a][0,b]=[−a⋅b,a×b]

     特别地，有
     v = x i + y j + z k q 2 = [ 0 , v ] [ 0 , v ] = [ − ( x 2 + y 2 + z 2 ) , 0 ] \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\\ q^2 &= [0,\boldsymbol{v}][0,\boldsymbol{v}] = [-(x^2+y^2+z^2),\boldsymbol{0}] \end{aligned} vq2=xi+yj+zk=[0,v][0,v]=[−(x2+y2+z2),0]

6. 数乘
   q = [ s , v ] λ q = λ [ s , v ] = [ λ s , λ v ] , λ ∈ R \begin{aligned} q &= [s,\boldsymbol{v}]\\ \lambda q &= \lambda[s,\boldsymbol{v}]=[\lambda s,\lambda\boldsymbol{v}],~\lambda\in\mathbb{R} \end{aligned} qλq=[s,v]=λ[s,v]=[λs,λv], λ∈R

7. 范数（模长）

   • 定义
     q = [ s , x i + y j + z k ] ∣ q ∣ = s 2 + x 2 + y 2 + z 2 \begin{aligned} q &= [s,x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}] \\ |q| &= \sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2} \end{aligned} q∣q∣=[s,xi+yj+zk]=s2+x2+y2+z2

   • 性质
     ∣ q a q b ∣ 2 = ∣ q a ∣ 2 ∣ q b ∣ 2 ∣ q a q b ∣ = ∣ q a ∣ ∣ q b ∣ \begin{aligned} |q_aq_b|^2 &= |q_a|^2|q_b|^2\\ |q_aq_b| &= |q_a||q_b| \end{aligned} ∣qaqb∣2∣qaqb∣=∣qa∣2∣qb∣2=∣qa∣∣qb∣

8. 单位四元数（unit quaternion）

   • 定义 ：考虑向量 v \boldsymbol{v} v，那么有
     v = λ v ^ , where λ = ∣ v ∣ and ∣ v ^ ∣ = 1 \boldsymbol{v} = \lambda\hat{\boldsymbol{v}},~\text{where } \lambda=|\boldsymbol{v}| \text{ and }|\hat{\boldsymbol{v}}|=1 v=λv^, where λ=∣v∣ and ∣v^∣=1

     同时考虑纯四元数 q q q，有
     q = [ 0 , v ] = [ 0 , λ v ^ ] = λ [ 0 , v ^ ] q=[0,\boldsymbol{v}]=[0,\lambda\hat{\boldsymbol{v}}]=\lambda[0,\hat{\boldsymbol{v}}] q=[0,v]=[0,λv^]=λ[0,v^]

     那么称 [ 0 , v ^ ] [0,\hat{\boldsymbol{v}}] [0,v^]为单位四元数，记作 q ^ = [ 0 , v ^ ] \hat{q}=[0,\hat{\boldsymbol{v}}] q^=[0,v^]。

   • 性质1 ：单位四元数的模长为1，因此四元数的模长可以重新表示为
     v = λ v ^ q = [ s , λ v ^ ] ∣ q ∣ = s 2 + λ 2 \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \lambda\hat{\boldsymbol{v}} \\ q &= [s,\lambda\hat{\boldsymbol{v}}] \\ |q| &= \sqrt{s^2+\lambda^2} \end{aligned} vq∣q∣=λv^=[s,λv^]=s2+λ2

   • 性质2 ：单位四元数的逆元 q ^ − 1 \hat{q}^{-1} q^−1等于其共轭 q ^ ∗ \hat{q}^* q^∗
     q ^ − 1 = q ^ ∗ = s − x i − y j − z k \hat{q}^{-1}=\hat{q}^*=s-x\boldsymbol{i}-y\boldsymbol{j}-z\boldsymbol{k} q^−1=q^∗=s−xi−yj−zk

   • 性质3：单位四元数可以表示三维空间中的旋转

     • 设旋转轴为 u = ( u x , u y , u z ) \mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) u=(ux,uy,uz)（单位向量），旋转角度为 θ \theta θ。

     • 对应的单位四元数为
       q = cos ⁡ ( θ 2 ) + sin ⁡ ( θ 2 ) ( u x i + u y j + u z k ) q = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) q=cos(2θ)+sin(2θ)(uxi+uyj+uzk)

     • 旋转一个向量 v = ( v x , v y , v z ) \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) v=(vx,vy,vz)时，将其表示为纯四元数 v = v x i + v y j + v z k v = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k} v=vxi+vyj+vzk，然后通过以下公式计算旋转后的向量
       v ′ = q v q − 1 v' = q v q^{-1} v′=qvq−1

9. 单位规范四元数（unit-norm quaternion）

   • 含义：具有单位规范的四元数称为单位规范四元数。

   • 定义：四元数 q = [ s , v ] q=[s,\boldsymbol{v}] q=[s,v]通过除以 ∣ q ∣ |q| ∣q∣来进行规范化
     q ′ = a s 2 + λ 2 q' = \frac{a}{\sqrt{s^2+\lambda^2}} q′=s2+λ2 a

   • 注意：区分"单位规范四元数"和"单位四元数"，一个"单位四元数"是一个纯四元数，而一个"单位规范四元数"仅要求规范后使得 s 2 + λ 2 = 1 s^2+\lambda^2=1 s2+λ2=1。

   • 最常使用的单位规范四元数的形式
     q = [ cos ⁡ ( θ 2 ) , sin ⁡ ( θ 2 ) v ^ ] , bacause cos ⁡ 2 θ + sin ⁡ 2 θ = 1 q=[\cos(\frac{\theta}{2}),\sin(\frac{\theta}{2})\hat{\boldsymbol{v}}],~\text{bacause }\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 q=[cos(2θ),sin(2θ)v^], bacause cos2θ+sin2θ=1

   • 单位规范四元数的乘积：考虑两个单位规范四元数
     q a = [ s a , a ] , ∣ q a ∣ = 1 q b = [ s b , b ] , ∣ q b ∣ = 1 \begin{aligned} q_a &=[s_a,\boldsymbol{a}],~|q_a|=1 \\ q_b &=[s_b,\boldsymbol{b}],~|q_b|=1 \end{aligned} qaqb=[sa,a], ∣qa∣=1=[sb,b], ∣qb∣=1

     假设其乘积 q c = [ s c , c ] q_c=[s_c,\boldsymbol{c}] qc=[sc,c]是一个单位规范四元数，有

     s c , c \] = \[ s a , a \] \[ s b , b \] = \[ s a s b − a ⋅ b , s a b + s b a + a × b \] \[s_c,\\boldsymbol{c}\] = \[s_a,\\boldsymbol{a}\]\[s_b,\\boldsymbol{b}\] = \[s_as_b-\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b},s_a\\boldsymbol{b}+s_b\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{b}\] \[sc,c\]=\[sa,a\]\[sb,b\]=\[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b

     假设 a \boldsymbol{a} a和 b \boldsymbol{b} b之间的夹角为 θ \theta θ，有
     s c = s a s b − a b cos ⁡ θ c = s a b b ^ + s b a a ^ + a b sin ⁡ θ ( a ^ × b ^ ) \begin{aligned} s_c &= s_as_b-ab\cos\theta \\ \boldsymbol{c} &= s_ab\hat{\boldsymbol{b}}+s_ba\hat{\boldsymbol{a}}+ab\sin\theta(\hat{\boldsymbol{a}}\times\hat{\boldsymbol{b}}) \end{aligned} scc=sasb−abcosθ=sabb^+sbaa^+absinθ(a^×b^)

     两个单位规范四元数的乘积仍然是单位规范四元数。

   • 单位规范四元数的矩阵是对角阵： Q \boldsymbol{Q} Q代表四元数 q q q的矩阵
     q = [ s , x i + y j + z k ] , where s 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 Q = [ s − x − y − z x s − z y y z s − x z − y x s ] Q Q T = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⇒ Q T = Q − 1 \begin{aligned} q &= [s,x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}],~\text{where }s^2+x^2+y^2+z^2=1\\ \boldsymbol{Q} &= \begin{bmatrix} s&-x&-y&-z\\x&s&-z&y\\y&z&s&-x\\z&-y&x&s \end{bmatrix} \\ \boldsymbol{Q}\boldsymbol{Q}^\mathrm{T} &=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{Q}^\mathrm{T} = \boldsymbol{Q}^{-1} \end{aligned} qQQQT=[s,xi+yj+zk], where s2+x2+y2+z2=1= sxyz−xsz−y−y−zsx−zy−xs = 1000010000100001 ⇒QT=Q−1

10. 复共轭
    q ∗ = [ s , − v ] q q ∗ = q ∗ q = [ s 2 + v ⋅ v , 0 ] ( q a q b ) ∗ = q b ∗ q a ∗ = [ s a s b − a ⋅ b , − s a b − s b a − a × b ] \begin{aligned} q^* &= [s,-\boldsymbol{v}] \\ qq^* &= q^*q = [s^2+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v},\boldsymbol{0}] \\ (q_aq_b)^* &= q_b^*q_a^* =[s_as_b-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},-s_a\boldsymbol{b}-s_b\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}] \end{aligned} q∗qq∗(qaqb)∗=[s,−v]=q∗q=[s2+v⋅v,0]=qb∗qa∗=[sasb−a⋅b,−sab−sba−a×b]

11. 逆
    q − 1 = q ∗ ∣ q ∣ 2 ( q a q b ) − 1 = q b − 1 q a − 1 \begin{aligned} q^{-1} &= \frac{q^*}{|q|^2}\\ (q_aq_b)^{-1} &= q_b^{-1}q_a^{-1} \end{aligned} q−1(qaqb)−1=∣q∣2q∗=qb−1qa−1