E = Kᵀ F K 的数学原理

一、为什么需要从 F 得到 E？

若两台相机的内参矩阵分别是

• K1：左相机

• K2​：右相机

则基础矩阵与本质矩阵关系为：

• F（基础矩阵） 工作在 像素坐标系（image coordinates）

• E（本质矩阵） 工作在 归一化相机坐标系（camera normalized coordinates）

两者的区别是：

像素坐标需要使用内参矩阵 K 才能转成真实的几何光线方向。

符号	含义	维度
(F)	基础矩阵（像素坐标下 epipolar 几何）	3×3
(E)	本质矩阵（相机归一化坐标系下 epipolar 几何）	3×3
(K)	相机内参矩阵	3×3
(x, x')	像素坐标（齐次）	3×1
(\tilde{x}, \tilde{x}')	归一化坐标（投影到相机坐标系）	3×1

二、核心思想：像素坐标与归一化坐标的关系

像素坐标：

三、E = T× R 为什么必须在归一化空间？

通过几何可以得：

这个公式成立的前提是：

• x1,x 必须表示为 3D 相机坐标系下的方向向量

• 而不是像素坐标

像素坐标要转换：

E = Kᵀ F K 的更几何化推导（直观图）

像素点 x1  --K^{-1}-->   归一化点 x̂1   --极几何-->   x̂2  --K-->  像素点 x2

极线约束在两个世界中都应该成立：

pixel:           x2ᵀ F x1 = 0
normalized:      x̂2ᵀ E x̂1 = 0

因为

像素坐标 = K * 归一化坐标

四、MATLAB 数值验证

下面的代码会：

1. 随机生成 R、T

2. 构造真实的本质矩阵 Etrue = T×R

3. 假设内参 K

4. 计算 F = K^{-T} Etrue K^{-1}

5. 再恢复 Eest = Kᵀ F K

6. 验证 Eest 是否等于 Etrue（在尺度内）

%% 随机生成 R
[U,~,V] = svd(randn(3,3));
R = U*V';
if det(R)<0, R(:,3) = -R(:,3); end

%% 随机平移 T
T = randn(3,1);
T = T / norm(T);
%============================================================
%% 叉乘矩阵
Tx = [0 -T(3) T(2);
      T(3) 0 -T(1);
     -T(2) T(1) 0];

%% 真实本质矩阵
E_true = Tx * R;
%============================================================
%% 相机内参  自己设置的
K = [1000 0 320;
     0 1000 240;
     0    0   1];
%============================================================
%% 根据 E_true 构造 F
F = inv(K)' * E_true * inv(K);

%% 再根据 F 恢复 E
E_est = K' * F * K;

%% 归一化以比较
E_true = E_true / norm(E_true);
E_est  = E_est  / norm(E_est);


disp('真实 E ：');
disp(E_true);

disp('恢复 E = K'' F K ：');
disp(E_est);

disp('误差 = ');
disp(E_est - E_true);

五、总结

矩阵	坐标系	几何意义
F	像素坐标	两幅图像的极线关系
E	归一化相机坐标	相机相对姿态（R、T）的真正规律