本文参考Kian Sen Ang and I. D. Robertson, "Analysis and design of impedance-transforming planar Marchand baluns, " in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 49, no. 2, pp. 402-406, Feb. 2001, doi: 10.1109/22.903108.
keywords: {Impedance matching;Couplers;Coupling circuits;Diodes;Microstrip;Frequency;Microwave integrated circuits;MMICs;Monolithic integrated circuits;Wideband},详细推导一下下公式，并且指出其中的可能的作者笔误，并提出一些疑问，希望大佬们来答疑解惑一下,仅供学习使用
图 1. 作为两个相同耦合器的对称Marchand巴伦框图。
二、分析
巴伦的框图如图1所示。它为一个源阻抗为ZoZ_oZo的非平衡输入提供平衡输出，连接到负载阻抗Z1Z_1Z1。通常，阻抗Z1Z_1Z1和ZoZ_oZo是不同的。例如，在平衡二极管混频器应用中，平衡信号需要馈入一对二极管，其阻抗可能与50Ω源阻抗不同。因此，除了提供平衡输出外，巴伦还需要在源阻抗和负载阻抗之间执行阻抗变换。
图1.1：端口顺序定义，1输入，2耦合，3直通（这里2和3与常见定向耦合器不同，想按常见定向耦合器定义将结果交换2与3顺序即可），4隔离
接上集对称均匀耦合线，终端参考阻抗均为Z0Z_0Z0的巴伦的S参数：
Sbalun=1−3C21+C2j2C1−C21+C2−j2C1−C21+C2j2C1−C21+C21−C21+C22C21+C2−j2C1−C21+C22C21+C21−C21+C2.(2) S_{\text{balun}} = \begin{bmatrix} \frac{1 - 3C^2}{1 + C^2} & j \frac{2C \sqrt{1 - C^2}}{1 + C^2} & -j \frac{2C \sqrt{1 - C^2}}{1 + C^2} \\ j \frac{2C \sqrt{1 - C^2}}{1 + C^2} & \frac{1 - C^2}{1 + C^2} & \frac{2C^2}{1 + C^2} \\ -j \frac{2C \sqrt{1 - C^2}}{1 + C^2} & \frac{2C^2}{1 + C^2} & \frac{1 - C^2}{1 + C^2} \end{bmatrix} . \qquad(2) Sbalun= 1+C21−3C2j1+C22C1−C2 −j1+C22C1−C2 j1+C22C1−C2 1+C21−C21+C22C2−j1+C22C1−C2 1+C22C21+C21−C2 .(2)
当如图1所示，巴伦的负载阻抗从ZoZ_oZo变为Z1Z_1Z1时，巴伦的S矩阵必须从SbalunS{\text{balun}}Sbalun修改为Sbalun′S{\text{balun}}^{\prime}Sbalun′。两个矩阵之间的关系由以下矩阵方程给出：（其中+表示共轭转置，假设参考阻抗均为实数，III表示单位矩阵）
Sbalun′=A−1(Sbalun−Γ+)(I−ΓSbalun)−1A+(3) S{\text{balun}}^{\prime} = A^{-1} \left( S{\text{balun}} - \\Gamma^{+} \right) (I - \\GammaS_{\text{balun}})^{-1}A^{+} \qquad(3) Sbalun′=A−1(Sbalun−Γ+)(I−ΓSbalun)−1A+(3)
1 推导转换矩阵
1.1 归一化电压波的定义
设网络有NNN个端口。对于端口iii，当参考阻抗为ZiZ_iZi（假设实数，分母阻抗实部也可写为ZiZ_iZi）时，定义归一化入射波aia_iai和反射波bib_ibi：
ai=Vi+ZiIi2Zi,bi=Vi−ZiIi2Zi a_i = \frac{V_i + Z_i I_i}{2\sqrt{Z_i}}, \quad b_i = \frac{V_i - Z_i I_i}{2\sqrt{Z_i}} ai=2Zi Vi+ZiIi,bi=2Zi Vi−ZiIi
其中ViV_iVi和IiI_iIi是端口的电压和电流（电流方向为流入网络）。类似地，当参考阻抗变为Zi′Z_i'Zi′（假设实数）时，定义：
ai′=Vi+Zi′Ii2Zi′,bi′=Vi−Zi′Ii2Zi′ a_i' = \frac{V_i + Z_i' I_i}{2\sqrt{Z_i'}}, \quad b_i' = \frac{V_i - Z_i' I_i}{2\sqrt{Z_i'}} ai′=2Zi′ Vi+Zi′Ii,bi′=2Zi′ Vi−Zi′Ii
1.2 新旧波之间的变换关系
由电压和电流的表达式相等：
Zi(ai+bi)=Zi′(ai′+bi′),1Zi(ai−bi)=1Zi′(ai′−bi′) \sqrt{Z_i}(a_i + b_i) = \sqrt{Z_i'}(a_i' + b_i'), \quad \frac{1}{\sqrt{Z_i}}(a_i - b_i) = \frac{1}{\sqrt{Z_i'}}(a_i' - b_i') Zi (ai+bi)=Zi′ (ai′+bi′),Zi 1(ai−bi)=Zi′ 1(ai′−bi′)
解得：
ai=1Ai(ai′+Γibi′),bi=1Ai(Γiai′+bi′) a_i = \frac{1}{A_i}(a_i' + \Gamma_i b_i'), \quad b_i = \frac{1}{A_i}(\Gamma_i a_i' + b_i') ai=Ai1(ai′+Γibi′),bi=Ai1(Γiai′+bi′)
其中：
Γi=Zi′−ZiZi′+Zi,Ai=2ZiZi′Zi′+Zi \Gamma_i = \frac{Z_i' - Z_i}{Z_i' + Z_i}, \quad A_i = \frac{2\sqrt{Z_i Z_i'}}{Z_i' + Z_i} Γi=Zi′+ZiZi′−Zi,Ai=Zi′+Zi2ZiZi′
对于所有端口，写成向量和矩阵形式：
a=A−1(a′+Γb′),b=A−1(Γa′+b′)(A) \mathbf{a} = A^{-1} (\mathbf{a}' + \\Gamma \mathbf{b}'), \quad \mathbf{b} = A^{-1} (\\Gamma \mathbf{a}' + \mathbf{b}') \quad(A)a=A−1(a′+Γb′),b=A−1(Γa′+b′)(A)
这里AAA和Γ\\GammaΓ是N×NN \times NN×N对角矩阵，其对角线元素分别为AiA_iAi和Γi\Gamma_iΓi。
1.3 网络关系与新的散射矩阵
原始散射矩阵SSS满足：
b=Sa \mathbf{b} = S \mathbf{a} b=Sa
新的散射矩阵S′S'S′满足：
b′=S′a′ \mathbf{b}' = S' \mathbf{a}' b′=S′a′
将步骤1.2的我们求得的a,b\mathbf{a},\mathbf{b}a,b即(A)式代入b=Sa\mathbf{b} = S \mathbf{a}b=Sa：
A−1(Γa′+b′)=SA−1(a′+Γb′) A^{-1} (\\Gamma \mathbf{a}' + \mathbf{b}') = S A^{-1} (\mathbf{a}' + \\Gamma \mathbf{b}') A−1(Γa′+b′)=SA−1(a′+Γb′)
两边左乘AAA：
Γa′+b′=ASA−1(a′+Γb′) \\Gamma \mathbf{a}' + \mathbf{b}' = ASA^{-1} (\mathbf{a}' + \\Gamma \mathbf{b}') Γa′+b′=ASA−1(a′+Γb′)
整理出b′\mathbf{b}'b′项：
b′−ASA−1Γb′=ASA−1a′−Γa′ \mathbf{b}' - ASA^{-1} \\Gamma \mathbf{b}' = ASA^{-1} \mathbf{a}' - \\Gamma \mathbf{a}' b′−ASA−1Γb′=ASA−1a′−Γa′
即：
(I−ASA−1Γ)b′=(ASA−1−Γ)a′ \left( I - ASA^{-1} \\Gamma \right) \mathbf{b}' = \left( ASA^{-1} - \\Gamma \right) \mathbf{a}' (I−ASA−1Γ)b′=(ASA−1−Γ)a′
因此：
b′=(I−ASA−1Γ)−1(ASA−1−Γ)a′ \mathbf{b}' = \left( I - ASA^{-1} \\Gamma \right)^{-1} \left( ASA^{-1} - \\Gamma \right) \mathbf{a}' b′=(I−ASA−1Γ)−1(ASA−1−Γ)a′
所以新的散射矩阵为：
S′=(I−ASA−1Γ)−1(ASA−1−Γ)(*) S' = \left( I - ASA^{-1} \\Gamma \right)^{-1} \left( ASA^{-1} - \\Gamma \right) \tag{*} S′=(I−ASA−1Γ)−1(ASA−1−Γ)(*)
1.4 疑问论文中给出的公式形式如下，不清楚由来希望大佬们解惑
Sbalun′=A−1(Sbalun−Γ+)(I−ΓSbalun)−1A+（3） S{\text{balun}}' = A^{-1} \left( S{\text{balun}} - \\Gamma^{+} \right) \left( I - \\GammaS_{\text{balun}} \right)^{-1} A^{+} \quad（3）Sbalun′=A−1(Sbalun−Γ+)(I−ΓSbalun)−1A+（3）
有一些参考文献
参考文献：J. C. Tippet and R. A. Speciale, "A Rigorous Technique for Measuring the Scattering Matrix of a Multiport Device with a 2-Port Network Analyzer," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 30, no. 5, pp. 661-666, May 1982, doi: 10.1109/TMTT.1982.1131118.
keywords: {Reflection;Testing;Performance evaluation;Measurement techniques;Performance analysis;Impedance measurement;Scattering parameters;Microwave measurements;Microwave devices},
微波工程4.3节广义散射矩阵中也给出
其中III是单位矩阵，而Γ\\GammaΓ和AAA由下式给出论文中公式(4)的AAA矩阵第一个元素应为1（对应端口1无阻抗变换，这样才能保证在Z1=Z0Z_1=Z_0Z1=Z0时矩阵退化为SbalunS_{\text{balun}}Sbalun。
Γ=0000Z1−ZoZ1+Zo000Z1−ZoZ1+ZoA=00002Z1ZoZ1+Zo0002Z1ZoZ1+Zo(4有问题) \\Gamma = \left \\begin{array}{ccc} 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\dfrac{Z_1 - Z_o}{Z_1 + Z_o} \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& \\dfrac{Z_1 - Z_o}{Z_1 + Z_o} \\end{array} \\right A = \left \\begin{array}{ccc} 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\dfrac{2\\sqrt{Z_1 Z_o}}{Z_1 + Z_o} \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& \\dfrac{2\\sqrt{Z_1 Z_o}}{Z_1 + Z_o} \\end{array} \\right\quad(4有问题) Γ= 0000Z1+ZoZ1−Zo000Z1+ZoZ1−Zo A= 0000Z1+Zo2Z1Zo 000Z1+Zo2Z1Zo (4有问题)
Γ=diag(0, Z1−ZoZ1+Zo, Z1−ZoZ1+Zo),A=diag(1, 2Z1ZoZ1+Zo, 2Z1ZoZ1+Zo)（4修改后） \\Gamma = \operatorname{diag}\left(0,\ \frac{Z_1 - Z_o}{Z_1 + Z_o},\ \frac{Z_1 - Z_o}{Z_1 + Z_o}\right), \quad A = \operatorname{diag}\left(1,\ \frac{2\sqrt{Z_1 Z_o}}{Z_1 + Z_o},\ \frac{2\sqrt{Z_1 Z_o}}{Z_1 + Z_o}\right) \quad（4修改后）Γ=diag(0, Z1+ZoZ1−Zo, Z1+ZoZ1−Zo),A=diag(1, Z1+Zo2Z1Zo , Z1+Zo2Z1Zo )（4修改后）
由于ZoZ_oZo和Z1Z_1Z1为实数，AAA和Γ\\GammaΓ为实对角矩阵，故A+=AA^+ = AA+=A，Γ+=Γ\\Gamma^+ = \\GammaΓ+=Γ，公式简化为上述实数形式。代入已知的SbalunS_{\text{balun}}Sbalun（公式(2)），即可推导出阻抗变换后的散射矩阵（公式(5)）。
2.计算转换后矩阵
S参数重新归一化理论用于将端口参考阻抗从全为ZoZ_oZo转换为端口1为ZoZ_oZo、端口2和3为Z1Z_1Z1。：
2.1 定义矩阵
原始巴伦S矩阵（所有端口参考阻抗为ZoZ_oZo）：
Sbalun=1−3C21+C2j2C1−C21+C2−j2C1−C21+C2j2C1−C21+C21−C21+C22C21+C2−j2C1−C21+C22C21+C21−C21+C2 S_{\text{balun}} = \begin{bmatrix} \frac{1-3C^2}{1+C^2} & j\frac{2C\sqrt{1-C^2}}{1+C^2} & -j\frac{2C\sqrt{1-C^2}}{1+C^2} \\ j\frac{2C\sqrt{1-C^2}}{1+C^2} & \frac{1-C^2}{1+C^2} & \frac{2C^2}{1+C^2} \\ -j\frac{2C\sqrt{1-C^2}}{1+C^2} & \frac{2C^2}{1+C^2} & \frac{1-C^2}{1+C^2} \end{bmatrix} Sbalun= 1+C21−3C2j1+C22C1−C2 −j1+C22C1−C2 j1+C22C1−C2 1+C21−C21+C22C2−j1+C22C1−C2 1+C22C21+C21−C2
记：
S11=1−3C21+C2,S12=S21=jD,S13=S31=−jD,S22=S33=E,S23=S32=FS_{11} = \frac{1-3C^2}{1+C^2},\quad S_{12}=S_{21}=jD,\quad S_{13}=S_{31}=-jD,\quad S_{22}=S_{33}=E,\quad S_{23}=S_{32}=FS11=1+C21−3C2,S12=S21=jD,S13=S31=−jD,S22=S33=E,S23=S32=F
其中D=2C1−C21+C2D=\frac{2C\sqrt{1-C^2}}{1+C^2}D=1+C22C1−C2 ，E=1−C21+C2E=\frac{1-C^2}{1+C^2}E=1+C21−C2，F=2C21+C2F=\frac{2C^2}{1+C^2}F=1+C22C2，且满足E+F=1E+F=1E+F=1，S112+2D2=1S_{11}^2+2D^2=1S112+2D2=1。
阻抗变换参数：
γ=Z1−ZoZ1+Zo,α=2Z1ZoZ1+Zo,n=Z1Zo\gamma = \frac{Z_1-Z_o}{Z_1+Z_o},\quad \alpha = \frac{2\sqrt{Z_1Z_o}}{Z_1+Z_o},\quad n=\frac{Z_1}{Z_o}γ=Z1+ZoZ1−Zo,α=Z1+Zo2Z1Zo ,n=ZoZ1
则γ=n−1n+1\gamma=\frac{n-1}{n+1}γ=n+1n−1，α=2nn+1\alpha=\frac{2\sqrt{n}}{n+1}α=n+12n 。
对角矩阵：
Γ=0000γ000γ,A=1000α000α,I=100010001\\Gamma = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix},\quad A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix},\quad I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}Γ= 0000γ000γ ,A= 1000α000α ,I= 100010001
2.2 计算中间矩阵
(1) Sbalun−ΓS_{\text{balun}} - \\GammaSbalun−Γ
Sbalun−Γ=S11S12S13S21S22−γS23S31S32S33−γ S{\text{balun}} - \\Gamma = \begin{bmatrix} S{11} & S_{12} & S_{13} \\ S_{21} & S_{22}-\gamma & S_{23} \\ S_{31} & S_{32} & S_{33}-\gamma \end{bmatrix} Sbalun−Γ= S11S21S31S12S22−γS32S13S23S33−γ
(2) ΓSbalun\\GammaS_{\text{balun}}ΓSbalun
ΓSbalun=000γS21γS22γS23γS31γS32γS33 \\GammaS{\text{balun}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \gamma S{21} & \gamma S_{22} & \gamma S_{23} \\ \gamma S_{31} & \gamma S_{32} & \gamma S_{33} \end{bmatrix} ΓSbalun= 0γS21γS310γS22γS320γS23γS33
(3) I−ΓSbalunI - \\GammaS_{\text{balun}}I−ΓSbalun
M=I−ΓSbalun=100−γS211−γS22−γS23−γS31−γS321−γS33 M = I - \\GammaS{\text{balun}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\gamma S{21} & 1-\gamma S_{22} & -\gamma S_{23} \\ -\gamma S_{31} & -\gamma S_{32} & 1-\gamma S_{33} \end{bmatrix} M=I−ΓSbalun= 1−γS21−γS3101−γS22−γS320−γS231−γS33
利用对称性S31=−S21S_{31}=-S_{21}S31=−S21，S32=S23S_{32}=S_{23}S32=S23，S33=S22S_{33}=S_{22}S33=S22，令a=1−γS22a=1-\gamma S_{22}a=1−γS22，b=−γS23b=-\gamma S_{23}b=−γS23，则：
M=100−γS21abγS21ba M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\gamma S_{21} & a & b \\ \gamma S_{21} & b & a \end{bmatrix} M= 1−γS21γS210ab0ba
2.3 求M−1M^{-1}M−1
利用分块矩阵求逆公式，得到：
M−1=100kaa2−b2−ba2−b2−k−ba2−b2aa2−b2 M^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & \frac{a}{a^2-b^2} & -\frac{b}{a^2-b^2} \\ -k & -\frac{b}{a^2-b^2} & \frac{a}{a^2-b^2} \end{bmatrix} M−1= 1k−k0a2−b2a−a2−b2b0−a2−b2ba2−b2a
其中k=γS21(a+b)a2−b2k = \frac{\gamma S_{21}(a+b)}{a^2-b^2}k=a2−b2γS21(a+b)，且a+b=1−γa+b=1-\gammaa+b=1−γ，a−b=1−γS11a-b=1-\gamma S_{11}a−b=1−γS11，a2−b2=(1−γ)(1−γS11)a^2-b^2=(1-\gamma)(1-\gamma S_{11})a2−b2=(1−γ)(1−γS11)。
2.4 计算P=(Sbalun−Γ)M−1P = (S_{\text{balun}} - \\Gamma) M^{-1}P=(Sbalun−Γ)M−1
通过矩阵乘法，并利用上述蓝色恒等式简化，得到：
P11=S11−γ1−γS11,P12=S121−γS11=jD1−γS11,P13=−jD1−γS11,P21=jD(1−γ2)α(1−γS11),P22=E(1−γ)1−γS11,P23=F(1+γ)1−γS11,P31=−P21,P32=P23,P33=P22. \begin{aligned} P_{11} &= \frac{S_{11}-\gamma}{1-\gamma S_{11}}, \\ P_{12} &= \frac{S_{12}}{1-\gamma S_{11}} = \frac{jD}{1-\gamma S_{11}}, \\ P_{13} &= -\frac{jD}{1-\gamma S_{11}}, \\ P_{21} &= \frac{jD(1-\gamma^2)}{\alpha(1-\gamma S_{11})}, \\ P_{22} &= \frac{E(1-\gamma)}{1-\gamma S_{11}}, \\ P_{23} &= \frac{F(1+\gamma)}{1-\gamma S_{11}}, \\ P_{31} &= -P_{21}, \\ P_{32} &= P_{23}, \\ P_{33} &= P_{22}. \end{aligned} P11P12P13P21P22P23P31P32P33=1−γS11S11−γ,=1−γS11S12=1−γS11jD,=−1−γS11jD,=α(1−γS11)jD(1−γ2),=1−γS11E(1−γ),=1−γS11F(1+γ),=−P21,=P23,=P22.
2.5 计算Sbalun′=A−1PAS_{\text{balun}}' = A^{-1} P ASbalun′=A−1PA
左乘A−1=diag(1,1/α,1/α)A^{-1} = \operatorname{diag}(1,1/\alpha,1/\alpha)A−1=diag(1,1/α,1/α)，右乘A=diag(1,α,α)A = \operatorname{diag}(1,\alpha,\alpha)A=diag(1,α,α)，得到最终S参数：
S11′=P11=S11−γ1−γS11,S12′=αP12=αjD1−γS11,S13′=αP13=−αjD1−γS11,S21′=P21α=jD(1−γ2)α2(1−γS11)=αjD1−γS11(因 1−γ2=α2),S22′=P22=E(1−γ)1−γS11,S23′=P23=F(1+γ)1−γS11,S31′=P31α=−αjD1−γS11,S32′=P32=F(1+γ)1−γS11,S33′=P33=E(1−γ)1−γS11. \begin{aligned} S_{11}' &= P_{11} = \frac{S_{11}-\gamma}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{12}' &= \alpha P_{12} = \frac{\alpha jD}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{13}' &= \alpha P_{13} = -\frac{\alpha jD}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{21}' &= \frac{P_{21}}{\alpha} = \frac{jD(1-\gamma^2)}{\alpha^2(1-\gamma S_{11})} = \frac{\alpha jD}{1-\gamma S_{11}} \quad (\text{因 } 1-\gamma^2=\alpha^2), \\ S_{22}' &= P_{22} = \frac{E(1-\gamma)}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{23}' &= P_{23} = \frac{F(1+\gamma)}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{31}' &= \frac{P_{31}}{\alpha} = -\frac{\alpha jD}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{32}' &= P_{32} = \frac{F(1+\gamma)}{1-\gamma S_{11}}, \\ S_{33}' &= P_{33} = \frac{E(1-\gamma)}{1-\gamma S_{11}}. \end{aligned} S11′S12′S13′S21′S22′S23′S31′S32′S33′=P11=1−γS11S11−γ,=αP12=1−γS11αjD,=αP13=−1−γS11αjD,=αP21=α2(1−γS11)jD(1−γ2)=1−γS11αjD(因 1−γ2=α2),=P22=1−γS11E(1−γ),=P23=1−γS11F(1+γ),=αP31=−1−γS11αjD,=P32=1−γS11F(1+γ),=P33=1−γS11E(1−γ).
2.6 代入具体表达式
将S11S_{11}S11、DDD、EEE、FFF、γ\gammaγ、α\alphaα用CCC和n=Z1/Zon=Z_1/Z_on=Z1/Zo表示，并计算公共分母：
1−γS11=21+(2n−1)C2(n+1)(1+C2) 1-\gamma S_{11} = \frac{21+(2n-1)C\^2}{(n+1)(1+C^2)} 1−γS11=(n+1)(1+C2)21+(2n−1)C2
代入化简后得到公式(5)：
Sbalun′=1−C2(2n+1)1+C2(2n−1)j2C1−C2n1+C2(2n−1)−j2C1−C2n1+C2(2n−1)j2C1−C2n1+C2(2n−1)1−C21+C2(2n−1)2C2n1+C2(2n−1)−j2C1−C2n1+C2(2n−1)2C2n1+C2(2n−1)1−C21+C2(2n−1) S_{\text{balun}}' = \begin{bmatrix} \frac{1-C^2(2n+1)}{1+C^2(2n-1)} & j\frac{2C\sqrt{1-C^2}\sqrt{n}}{1+C^2(2n-1)} & -j\frac{2C\sqrt{1-C^2}\sqrt{n}}{1+C^2(2n-1)} \\ j\frac{2C\sqrt{1-C^2}\sqrt{n}}{1+C^2(2n-1)} & \frac{1-C^2}{1+C^2(2n-1)} & \frac{2C^2 n}{1+C^2(2n-1)} \\ -j\frac{2C\sqrt{1-C^2}\sqrt{n}}{1+C^2(2n-1)} & \frac{2C^2 n}{1+C^2(2n-1)} & \frac{1-C^2}{1+C^2(2n-1)} \end{bmatrix} Sbalun′= 1+C2(2n−1)1−C2(2n+1)j1+C2(2n−1)2C1−C2 n −j1+C2(2n−1)2C1−C2 n j1+C2(2n−1)2C1−C2 n 1+C2(2n−1)1−C21+C2(2n−1)2C2n−j1+C2(2n−1)2C1−C2 n 1+C2(2n−1)2C2n1+C2(2n−1)1−C2
带入n即可得到论文公式(5)，但其中S23′S_{23}'S23′和S32′S_{32}'S32′含有虚数单位jjj，带入Z1=Z0Z_1=Z_0Z1=Z0条件后无法化简到2式。跟我们推导的不一样，不过(8）式结果相同
原文中公式如下。
Sbalun′=1−C2(2Z1Zo+1)1+C2(2Z1Zo−1)j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)−j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)1−C21+C2(2Z1Zo−1)j2C2(Z1Zo)1+C2(2Z1Zo−1)−j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)j2C(Z1Zo)1+C2(2Z1Zo−1)1−C21+C2(2Z1Zo−1)(5) S{\text{balun}}^{\prime}=\begin{bmatrix}\frac{1-C^{2}\left(\frac{2Z{1}}{Z_{o}}+1\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&-j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\\\\ j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{1-C^{2}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&j\frac{2C^{2}\left(\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\\\\-j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&j\frac{2C\left(\frac{Z_{1}}{Z_{o}}\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{1-C^{2}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\end{bmatrix} \qquad(5) Sbalun′= 1+C2(Zo2Z1−1)1−C2(Zo2Z1+1)j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 −j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 1+C2(Zo2Z1−1)1−C2j1+C2(Zo2Z1−1)2C(ZoZ1)−j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 j1+C2(Zo2Z1−1)2C2(ZoZ1 )1+C2(Zo2Z1−1)1−C2 (5)
Sbalun′=1−C2(2Z1Zo+1)1+C2(2Z1Zo−1)j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)−j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)1−C21+C2(2Z1Zo−1)2C2(Z1Zo)1+C2(2Z1Zo−1)−j2C1−C2Z1Zo1+C2(2Z1Zo−1)2C2(Z1Zo)1+C2(2Z1Zo−1)1−C21+C2(2Z1Zo−1)(5修改后) S{\text{balun}}^{\prime}=\begin{bmatrix}\frac{1-C^{2}\left(\frac{2Z{1}}{Z_{o}}+1\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&-j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\\\\ j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{1-C^{2}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{2C^2\left(\frac{Z_{1}}{Z_{o}}\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\\\\-j\frac{2C\sqrt{1-C^{2}}\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{o}}}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{2C^2\left(\frac{Z_{1}}{Z_{o}}\right)}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}&\frac{1-C^{2}}{1+C^{2}\left(\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}-1\right)}\end{bmatrix} \qquad(5修改后) Sbalun′= 1+C2(Zo2Z1−1)1−C2(Zo2Z1+1)j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 −j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 1+C2(Zo2Z1−1)1−C21+C2(Zo2Z1−1)2C2(ZoZ1)−j1+C2(Zo2Z1−1)2C1−C2 ZoZ1 1+C2(Zo2Z1−1)2C2(ZoZ1)1+C2(Zo2Z1−1)1−C2 (5修改后)
(5)式表明，无论耦合系数和端口阻抗如何，使用相同的耦合段会导致巴伦输出具有相等的幅度和相反的相位。为了实现到每个端口的最佳功率传输-3 dB，我们要求：
∣Sb,21′∣=∣Sb,31′∣=12.(6) |S_{b,21}^{\prime}|=|S_{b,31}^{\prime}|=\frac{1}{\sqrt{2}}.\quad{(6)} ∣Sb,21′∣=∣Sb,31′∣=2 1.(6)
根据(5)式和(6)式，获得最佳巴伦性能所需的耦合系数为：
C=12Z1Zo+1.(7) C=\frac{1}{\sqrt{\frac{2Z_{1}}{Z_{o}}+1}}.\quad{(7)} C=Zo2Z1+1 1.(7)
有趣的是，当所有端口都端接相同阻抗（例如50Ω），即阻抗变换比为1时，所需的耦合系数是-4.8 dB，而不是-3 dB。根据(5)式，使用通常假设的-3 dB耦合器6将导致中心频率处的插入损耗和输出隔离为-3.5 dB，输入和输出回波损耗为-9.5 dB。当满足(7)式时，(5)式给出的巴伦S矩阵简化为：
Sbalun=0j2−j2j21212−j21212.(8) S_{\text{balun}}=\begin{bmatrix}0&\frac{j}{\sqrt{2}}&-\frac{j}{\sqrt{2}}\\\frac{j}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{j}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}.\quad{(8)} Sbalun= 02 j−2 j2 j2121−2 j2121 .(8)
这是一个无耗巴伦可达到的最佳S矩阵。它在输入端匹配，传输系数为-3 dB且相位相反。