本文涉及知识点
P9277 [AGM 2023 资格赛] 反转
题目描述
给定长度为 N N N 的序列 a a a 满足每个数都小于 2 K 2^K 2K。你需要执行恰好 P P P 次操作，每次操作是把其中一个数的某一个二进制位反转。最终你需要使得
∑ i ∑ j a i ⊕ a j ( i < j ) \sum_i\sum_j a_i\oplus a_j(i<j) i∑j∑ai⊕aj(i<j)
最大，其中 ⊕ \oplus ⊕ 为按位异或运算。
输入格式
第一行包含整数 N 、 K 、 P N、K、P N、K、P，保证 1 ≤ N ≤ 10 5 , 1 ≤ K ≤ 30 , 1 ≤ P ≤ N × K 1≤N≤10^5,1≤K≤30,1≤P≤N\times K 1≤N≤105,1≤K≤30,1≤P≤N×K。
下一行包含 N N N 个整数，即序列 a a a。对于所有 1 ≤ i ≤ N 1≤i≤N 1≤i≤N，保证 0 ≤ a i < 2 K 0≤a_i<2^K 0≤ai<2K。
输出格式
P P P 行，每行包含两个整数 i i i 和 j j j，满足 1 ≤ i ≤ N , 0 ≤ j < K 1≤i≤N, 0≤j<K 1≤i≤N,0≤j<K，表示数字 a i a_i ai 的第 j j j 位反转。即 a i ← a i ⊕ 2 j a_i\leftarrow a_i \oplus 2^j ai←ai⊕2j。
你可以多次反转同一个位。如果有多个使总和最大化的解输出任意一个即可。
输入输出样例 #1
输入 #1
2 5 1
0 31输出 #1
1 0输入输出样例 #2
输入 #2
4 2 2
0 0 2 2输出 #2
4 0
3 0输入输出样例 #3
输入 #3
5 6 4
63 15 0 10 5输出 #3
5 5
4 5
4 4
5 4P9277 [AGM 2023 资格赛] 反转
从高位开始处理。如果处理完所有位，还有剩余次数。如果是偶数，对任意数任意位处理；如果剩余次数是奇数，则最低位某个数翻转一次，
其它次数翻转任意数任意位，偶数次。
单独处理某一位时，相当于N各0、1。异或为1的数对数为：y1=(N-1)*N/2 - 异或为0的数量(y0)。令1的数量为n1，则异或为0的数量：
y0= (n1-1)n1/2 + (N - n1 -1 ) (N-n1)/2 即2y0 = n1n1-n1+NN-n1N-N-Nn1+n1n1+n1=2n1n1-2n1N+NN-N=-2n1(N-n1)+NN-N
要想2y最小，必须n1(N-n1)最大。即周长一定矩形面积最大。需要n1和N-n1最接近。
v0和v1记录各位0和1的下标。空间复杂度：O(n) 时间复杂度：O(nk)
担心证明错误
故暴力了 n <=10000。数据证明没有错误。结果是山顶数组。
cpp
for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
vector<long long> v;
for (long long j = 0; j <= i; j++) {
const long long k = i - j;
const long long cur = j * (j - 1) / 2 + k * (k - 1) / 2;
v.emplace_back(cur);
}
if (i & 1) {
for (int k = 0; k + 1 <= i/2; k++) {
assert(v[k] > v[k + 1]);
}
assert(v[i / 2] == v[i / 2 + 1]);
for (int k = i / 2 + 1; k + 1 <= i; k++) {
assert(v[k] < v[k + 1]);
}
}
else {
for (int k = 0; k + 1 <= i / 2; k++) {
assert(v[k] > v[k + 1]);
}
for (int k = i / 2 ; k + 1 <= i; k++) {
assert(v[k] < v[k + 1]);
}
}
}进一步分析
剩余p是奇数。
如果N是偶数，各位都是N/2个0和N/2个1。翻转最低位和变小。
如果N是奇数，N/2个0(1)或N/2+1个1(0)。反正N/2+1个的，结果不变。
结论：剩余次数全部用来翻转最低位多的数。如果0多，翻转0；1多翻转1。相等翻转0或1。
错误代码
cpp
class Solution {
public:
vector<pair<int,int>> Ans(const int N ,const int K,int P,const vector<int>& a) {
vector<pair<int, int>> ans;
for (int bit = K - 1; bit >= 0; bit--) {
vector<int> v0, v1;
auto Do = [&]() {
P--;
if (v0.size() < v1.size()) {
swap(v0, v1);
}
ans.emplace_back(v0.back()+1, bit);
v1.emplace_back(v0.back());
v0.pop_back();
};
for (int i = 0; i < N; i++) {
if ((1 << bit) & a[i]) {
v1.emplace_back(i);
}
else {
v0.emplace_back(i);
}
}
while (P && (fabs(v0.size() - v1.size()) > 1)) {
Do();
}
while (P &&(0==bit)) {
Do();
}
}
return ans;
}
};错误原因：不能从高到低位处理
第bit位有c0个0，c1个1。mi= min(c0,c1) ma=max(c0,c1)。
则此位之和是： c 0 ∗ c 1 ∗ ( 1 L L < < b i t ) c0*c1*(1LL<<bit) c0∗c1∗(1LL<<bit)精简
如果ma-mi > 1，则ma--,mi++是更优解。增加： f ( m i ) = ( m i + 1 ) × ( m a − 1 ) − m i × m a = m i × m a + m a − m i − 1 − m i × m a = m a − m i − 1 = m a − ( N − m a ) − 1 = 2 m a − N − 1 f(mi)=(mi+1)\times(ma-1)- mi \times ma=mi \times ma +ma - mi-1- mi \times ma =ma-mi-1=ma-(N-ma)-1=2ma-N-1 f(mi)=(mi+1)×(ma−1)−mi×ma=mi×ma+ma−mi−1−mi×ma=ma−mi−1=ma−(N−ma)−1=2ma−N−1
将各位的f(mi)*(1LL<<bit)放到大根堆中。
vv0[bit] 记录第bit位是0的下标，vv1[bit] 记录第bit位是1的下标。每次Do函数之前，如果vv0[bit].size() < vv1[bit].size() 则swap(vv[0],vv[1])。
代码
核心代码
cpp
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class Solution {
public:
vector<pair<int, int>> Ans(const int N, const int K, int P, const vector<int>& a) {
vector<pair<int, int>> ans;
vector<vector<int>> vv0(K), vv1(K);
priority_queue<pair<long long, int>> maxHeap;
for (int bit = K - 1; bit >= 0; bit--) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
if ((1 << bit) & a[i]) {
vv1[bit].emplace_back(i);
}
else {
vv0[bit].emplace_back(i);
}
}
auto& v0 = vv0[bit];
auto& v1 = vv1[bit];
if (v0.size() < v1.size()) {
swap(v0, v1);
}
if (v0.size() - v1.size() > 1)
{
maxHeap.emplace((1LL << bit) * (2 * v0.size() - N - 1), bit);
}
}
auto Do = [&](int bit) {
P--;
auto& v0 = vv0[bit];
auto& v1 = vv1[bit];
if (v0.size() < v1.size()) {
swap(v0, v1);
}
ans.emplace_back(v0.back() + 1, bit);
v1.emplace_back(v0.back());
v0.pop_back();
if (v0.size() - v1.size() > 1)
{
maxHeap.emplace((1LL << bit) * (2 * v0.size() - N - 1), bit);
}
};
while (maxHeap.size() && P) {
const auto [tmp, bit] = maxHeap.top();
maxHeap.pop();
Do(bit);
}
while (P) {
Do(0);
}
return ans;
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int N,K,P;
in >> N >> K >> P ;
auto a = in.Read<int>(N);
#ifdef _DEBUG
printf("N=%d,K=%d,P=%d", N,K,P);
Out(a, ",a=");
//Out(ab, ",ab=");
//Out(B, "B=");
//Out(que, "que=");
//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(N,K,P,a);
for (const auto& [i, j] : res) {
cout << i << " " << j << "\n";
}
return 0;
};单元测试
cpp
int N, K,P;
vector<int> a;
void Check(const vector<int>& a, const vector<pair<int,int>>& act, vector<pair<int, int>>& res) {
AssertEx(Cal(a, act), Cal(a, res));
}
long long Cal( vector<int> a,const vector<pair<int, int>>& res) {
for (const auto& [i, j] : res) {
a[i - 1] ^= (1 << j);
}
long long ans = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
for (int j = i + 1; j < a.size(); j++) {
ans += a[i] ^ a[j];
}
}
return ans;
}
TEST_METHOD(TestMethod01)
{
a = { 0,31 };
auto res = Solution().Ans(2,5,1,a);
Check(a,{ { 1,0 } }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod02)
{
a = { 0,0,2,2 };
auto res = Solution().Ans(4,2,2,a);
Check(a,{ { 4,0 },{3,0} }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod03)
{
N = 5, K = 6, P = 4, a = { 63,15,0,10,5 };
auto res = Solution().Ans(N,K,P, a);
Check(a, { { 5,5 },{5,4},{4,3},{4,3} }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod04)
{
N = 2, K = 2, P = 3, a = { 1,2 };
auto res = Solution().Ans(N, K, P, a);
AssertV({ { 2,0 },{2,0},{1,0} }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod05)
{
N = 2, K = 2, P = 4, a = { 1,2 };
auto res = Solution().Ans(N, K, P, a);
Check(a, { }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod06)
{
N = 3, K = 3, P = 4, a = { 1,2,4 };
auto res = Solution().Ans(N, K, P, a);
Check(a, { }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod07)
{
N = 3, K = 3, P = 1, a = { 1,2,4 };
auto res = Solution().Ans(N, K, P, a);
Check(a, { {2,0} }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod08)
{
N = 6, K = 2, P = 1, a = { 2,2,0,0,0,0 };
auto res = Solution().Ans(N, K, P, a);
Check(a, { {1,0} }, res);
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。