二分查找类算法题核心笔记

二分查找类算法题核心笔记（含个人核心疑惑标注）

一、核心公理（底层铁律，解决「left==right何时出现」的疑惑）

【核心疑惑1】：left==right到底什么时候出现？是不是只有区间缩到1个元素时才会出现？

left == right ↔ 二分搜索的有效区间长度为1 （仅含1个元素），无任何例外：
- 场景1：初始区间就1个元素（如nums=[5]，直接left=right=0）；
- 场景2：从多元素区间缩小到1个元素（如nums=[1,3,5,7]缩到left=right=3）；
区间长度≠1时：
- 长度>1 → left < right（绝对不会出现left==right）；
- 长度=0 → left > right（区间为空，无元素可查）；
二分法的本质：通过「缩小有效区间」逼近答案，核心差异仅在于「是否处理长度为1的区间（即left==right的情况）」。

二、题型核心分类（解决「什么时候用left<right，什么时候用left<=right」的核心疑惑）

【核心疑惑2】：为什么找最小值只用left<right（到leftright就停），找插入位置却要用left<=right（还要处理leftright）？

分类	核心目标	对「left==right（长度1区间）」的处理	循环条件	选择逻辑（解答核心疑惑）	最终答案逻辑
类型A：找边界/定值	找数组中「已存在的元素位置」（最小值/最大值/第一个≥target的元素）	停止处理，直接取该位置为答案	`while left < right`	答案是数组里"本来就有"的元素位置，缩到长度1区间就确定了答案，无需再处理	循环终止时`left==right`，返回该位置元素/索引
类型B：推导结果	找插入位置/判断元素是否存在（存在返回True/False）	继续处理，判断后推导最终答案	`while left <= right`	答案是"推导出来的结果"（插入位置/存在与否），长度1区间只是最后一个待检查的元素，需判断后确定最终答案（比如判断插入到该元素左边还是右边）	循环终止时`left > right`，返回left（插入位置）/False（不存在）

【之前的关键误区】：曾误以为「找唯一值」是判断标准（比如searchMatrix看似找target位置，就该用left<right），实际纠正：

误区本质：searchMatrix的核心是「推导target是否存在」（类型B），而非「单纯找target位置」，因此仍用left<=right；
插入位置的"唯一性"≠"数组已有元素位置"：插入位置是推导的唯一位置（比如nums=[1,3,5]，target=4的插入位置2），而非数组里本就有的元素位置，因此需处理left==right。

三、解题三步法（套用到所有二分题，彻底解决循环条件选择疑惑）

步骤1：判断题型类型（核心，解决循环条件选择的根本）

问自己：最终答案是「数组里已有的元素位置」（类型A），还是「推导出来的结果」（类型B）？
- 类型A（找边界/定值）：旋转数组最小值、第一个大于target的元素、峰值位置、最后一个小于target的元素；
- 类型B（推导结果）：插入位置、判断元素是否存在（二维矩阵searchMatrix）、找target索引（不存在返回-1）。

步骤2：确定循环条件（直接对应left==right的处理方式）

【核心疑惑3】：循环条件和left==right的关系？

类型A → while left < right：长度1区间（left==right）时终止，不进入循环处理；
类型B → while left <= right：长度1区间（left==right）时仍满足条件，继续进入循环处理。

步骤3：边界更新（保证区间自洽，避免死循环）

【避坑疑惑】：为什么找最小值时right=mid，找插入位置时right=mid-1？

通用原则：想排除mid → left=mid+1；想保留mid（mid可能是答案）→ right=mid；
类型A注意：更新时避免right=mid-1（易漏掉mid这个答案，比如找最小值时mid可能就是最小值）；
类型B注意：更新时必须left=mid+1/right=mid-1（排除已检查的mid，否则无法缩小到空区间）。

四、常见避坑点（对应疑惑的易错点）

区间定义与更新不一致（最易踩坑）：
- 用while left <= right（闭区间）却更新right=mid → 死循环（left==right时mid不变，边界不更新）；
- 用while left < right（左闭右开）却初始化right=len(nums)-1 → 漏查元素；
类型A误用left <= right：长度1区间时进入循环，mid不变导致死循环（比如找最小值时）；
类型B更新时未±1：比如left=mid，导致区间无法缩小到空，死循环；
混淆「有效区间」：开区间写法中right=len(nums)，有效区间是[left, right-1]，但核心逻辑仍围绕left==right=长度1区间。

五、经典例题拆解（对应疑惑的实战验证）

例1：类型A（找旋转数组最小值，验证「为什么用left<right」）

【核心疑惑验证】：缩到left==right就确定最小值，无需处理

python 复制代码

def findMin(nums):
    left, right = 0, len(nums)-1
    while left < right:  # 类型A：到left==right就停
        mid = (left+right)//2
        if nums[mid] > nums[right]:
            left = mid + 1  # 排除mid（mid在左半大数组，不可能是最小值）
        else:
            right = mid     # 保留mid（mid可能是最小值，避免漏判）
    return nums[left]  # left==right，直接返回（无需处理）

例2：类型B（找插入位置，验证「为什么用left<=right」）

【核心疑惑验证】：left==right时需处理，判断插入方向

python 复制代码

def searchInsert(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)-1
    while left <= right:  # 类型B：left==right时继续处理
        mid = (left+right)//2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1  # 排除mid，插入位置在右侧
        else:
            right = mid - 1 # 排除mid，插入位置在左侧
    return left  # left>right，返回推导的插入位置

例3：类型B（searchMatrix，验证「看似找位置却用left<=right」）

【误区纠正验证】：核心是推导存在性，而非找位置

python 复制代码

def searchMatrix(matrix, target):
    m,n=len(matrix),len(matrix[0])
    left,right=0,m*n-1
    while left<=right:  # 类型B：推导存在性，需处理left==right
        mid=(left+right)//2
        if matrix[mid//n][mid%n]==target:
            return True  # 找到位置，推导"存在"
        if matrix[mid//n][mid%n]<target:
            left=mid+1
        else:
            right=mid-1
    return False  # left>right，推导"不存在"

六、核心总结（直击所有疑惑的本质）

二分法的核心不是「区间写法」（闭/开），而是「是否处理长度1的区间（left==right）」；
类型A（找定值/边界）：缩到left==right就停（用left<right），直接取答案；
类型B（推导结果）：处理left==right（用left<=right），推导最终答案；
所有疑惑的根源：混淆了「答案是数组已有位置」和「答案是推导结果」，抓住这一点就能秒选循环条件。