思路启发：超越Transformer的无限上下文：SSM-Attention混合架构的理论分析

作者： 小lo爱吃棒棒糖¹, GLM-5²

摘要

本文研究一种结合状态空间模型(SSM/Mamba)线性推理效率与Transformer精确回忆能力的混合架构。我们建立了严格的数学框架，证明该混合架构在保持10810^8108量级Token上下文窗口的同时，可实现推理成本的次线性增长O(Nα)\mathcal{O}(N^\alpha)O(Nα)，其中α<1\alpha < 1α<1。主要理论贡献包括：(1) 证明SSM的长程记忆容量上界与状态维度的指数关系；(2) 给出Attention-SSM混合层的最优分配策略；(3) 推导混合架构的近似误差界与计算复杂度权衡；(4) 分析"大海捞针"任务的召回率保证。理论分析表明，通过分层记忆机制和选择性注意力路由，混合架构可在保证召回率的前提下将推理复杂度从O(N2)\mathcal{O}(N^2)O(N2)降至O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)O(NlogN)。

关键词： 状态空间模型；Transformer；混合架构；无限上下文；次线性推理

1 引言

大语言模型(LLM)的上下文窗口长度是制约其应用的关键瓶颈。标准Transformer的自注意力机制具有O(N2)\mathcal{O}(N^2)O(N2)的时间和空间复杂度，其中NNN为序列长度。当NNN达到10610^6106量级时，即使是最先进的硬件也难以承受其计算开销。然而，许多实际应用（如长文档理解、代码仓库分析、终身学习代理）需要模型处理10810^8108甚至更长序列的能力。

状态空间模型(SSM)，特别是Mamba架构[1]，通过将序列建模为线性时不变系统的状态演化，实现了O(N)\mathcal{O}(N)O(N)的推理复杂度。然而，SSM在"大海捞针"(Needle-in-a-Haystack)任务上的表现仍逊于Attention机制，其根本原因在于SSM的状态压缩导致信息损失。

本文提出一种混合架构，结合SSM的线性效率与Attention的精确回忆能力。我们通过严格的数学分析回答以下核心问题：

SSM的记忆容量上界是多少？能否理论刻画其信息瓶颈？
如何设计Attention与SSM的最优混合策略？
混合架构能否实现次线性推理复杂度？
"大海捞针"任务的召回率如何保证？

2 背景与问题形式化

2.1 状态空间模型(SSM)基础

状态空间模型将序列建模为连续时间的线性动力系统，通过离散化得到序列处理框架。定义连续时间SSM为：

dh(t)dt=Ah(t)+Bx(t)y(t)=Ch(t)+Dx(t) \begin{align} \frac{d\bm{h}(t)}{dt} &= \bm{A}\bm{h}(t) + \bm{B}x(t) \\ y(t) &= \bm{C}\bm{h}(t) + \bm{D}x(t) \end{align} dtdh(t)y(t)=Ah(t)+Bx(t)=Ch(t)+Dx(t)

其中h(t)∈Rd\bm{h}(t) \in \mathbb{R}^dh(t)∈Rd为隐状态，A∈Rd×d\bm{A} \in \mathbb{R}^{d \times d}A∈Rd×d为状态转移矩阵，B∈Rd×1\bm{B} \in \mathbb{R}^{d \times 1}B∈Rd×1，C∈R1×d\bm{C} \in \mathbb{R}^{1 \times d}C∈R1×d为投影矩阵。

采用零阶保持(ZOH)离散化，设采样步长为Δ\DeltaΔ，离散化后的递推形式为：

hn=Aˉhn−1+Bˉxn \bm{h}n = \bar{\bm{A}}\bm{h}{n-1} + \bar{\bm{B}}x_n hn=Aˉhn−1+Bˉxn

其中Aˉ=exp⁡(ΔA)\bar{\bm{A}} = \exp(\Delta\bm{A})Aˉ=exp(ΔA)，Bˉ=(ΔA)−1(exp⁡(ΔA)−I)ΔB\bar{\bm{B}} = (\Delta\bm{A})^{-1}(\exp(\Delta\bm{A}) - \bm{I})\Delta\bm{B}Bˉ=(ΔA)−1(exp(ΔA)−I)ΔB。

注记 (Mamba的选择性机制) ：Mamba通过使B,C,Δ\bm{B}, \bm{C}, \DeltaB,C,Δ依赖于输入xxx，实现了输入依赖的状态转移，增强了模型对关键信息的保留能力。形式化地，Bn=LinearB(xn)\bm{B}_n = \text{Linear}_B(x_n)Bn=LinearB(xn)，Cn=LinearC(xn)\bm{C}_n = \text{Linear}_C(x_n)Cn=LinearC(xn)。

2.2 注意力机制的复杂度瓶颈

标准自注意力计算为：

Attention(Q,K,V)=softmax(QK⊤dk)V \text{Attention}(\bm{Q}, \bm{K}, \bm{V}) = \text{softmax}\left(\frac{\bm{Q}\bm{K}^\top}{\sqrt{d_k}}\right)\bm{V} Attention(Q,K,V)=softmax(dk QK⊤)V

其中Q,K,V∈RN×d\bm{Q}, \bm{K}, \bm{V} \in \mathbb{R}^{N \times d}Q,K,V∈RN×d。计算复杂度为O(N2d)\mathcal{O}(N^2 d)O(N2d)，空间复杂度为O(N2)\mathcal{O}(N^2)O(N2)。

定义 (次线性复杂度) ：若算法的时间复杂度T(N)T(N)T(N)满足T(N)=O(Nα)T(N) = \mathcal{O}(N^\alpha)T(N)=O(Nα)且α<1\alpha < 1α<1，或T(N)=O(Nlog⁡kN)T(N) = \mathcal{O}(N \log^k N)T(N)=O(NlogkN)，则称其具有次线性复杂度。

2.3 混合架构设计目标

定义 (混合架构优化问题) ：设计混合架构M={Ml}l=1L\mathcal{M} = \{\mathcal{M}l\}{l=1}^LM={Ml}l=1L，其中每层Ml∈{SSM,Attention,Hybrid}\mathcal{M}_l \in \{\text{SSM}, \text{Attention}, \text{Hybrid}\}Ml∈{SSM,Attention,Hybrid}，优化目标为：

min⁡ML(M)+λ⋅C(M)s.t.Rrecall(M)≥1−ϵ \begin{align} \min_{\mathcal{M}} \quad & \mathcal{L}(\mathcal{M}) + \lambda \cdot C(\mathcal{M}) \\ \text{s.t.} \quad & R_{\text{recall}}(\mathcal{M}) \geq 1 - \epsilon \end{align} Mmins.t.L(M)+λ⋅C(M)Rrecall(M)≥1−ϵ

其中L\mathcal{L}L为任务损失，CCC为计算成本，RrecallR_{\text{recall}}Rrecall为召回率。

3 SSM记忆容量的理论上界

3.1 状态压缩的信息论分析

SSM的核心局限在于：将长度为NNN的序列压缩到固定维度ddd的隐状态中，必然导致信息损失。我们首先建立SSM记忆容量的理论上界。

定理 (SSM记忆容量上界) ：设SSM的隐状态维度为ddd，状态转移矩阵A\bm{A}A的谱半径为ρ(A)<1\rho(\bm{A}) < 1ρ(A)<1（保证系统稳定）。定义有效记忆长度为核函数衰减到1/e1/e1/e的时间步数：

Leff=1∣ln⁡ρ(Aˉ)∣≈11−ρ(Aˉ) L_{\text{eff}} = \frac{1}{|\ln\rho(\bar{\bm{A}})|} \approx \frac{1}{1 - \rho(\bar{\bm{A}})} Leff=∣lnρ(Aˉ)∣1≈1−ρ(Aˉ)1

则SSM能有效记忆的独立信息量上界为：

Imax⁡=d⋅Leff⋅Hper-token=d⋅Hper-token∣ln⁡ρ(Aˉ)∣ I_{\max} = d \cdot L_{\text{eff}} \cdot H_{\text{per-token}} = \frac{d \cdot H_{\text{per-token}}}{|\ln\rho(\bar{\bm{A}})|} Imax=d⋅Leff⋅Hper-token=∣lnρ(Aˉ)∣d⋅Hper-token

其中Hper-tokenH_{\text{per-token}}Hper-token为每个Token的平均信息熵。

证明：

第一步：分析状态演化。

展开SSM的递推公式，输出可表示为卷积形式：

yn=CAˉn−1Bˉx1+CAˉn−2Bˉx2+⋯+CBˉxn y_n = \bm{C}\bar{\bm{A}}^{n-1}\bar{\bm{B}}x_1 + \bm{C}\bar{\bm{A}}^{n-2}\bar{\bm{B}}x_2 + \cdots + \bm{C}\bar{\bm{B}}x_n yn=CAˉn−1Bˉx1+CAˉn−2Bˉx2+⋯+CBˉxn

定义卷积核K=(CAˉiBˉ)i=0N−1\bm{K} = (\bm{C}\bar{\bm{A}}^i\bar{\bm{B}})_{i=0}^{N-1}K=(CAˉiBˉ)i=0N−1，则y=K∗x\bm{y} = \bm{K} * \bm{x}y=K∗x。

第二步：分析核函数的衰减性质。

设Aˉ\bar{\bm{A}}Aˉ的谱半径为ρ(Aˉ)<1\rho(\bar{\bm{A}}) < 1ρ(Aˉ)<1。由矩阵范数的性质：

∥Aˉn∥≤C⋅ρ(Aˉ)n \|\bar{\bm{A}}^n\| \leq C \cdot \rho(\bar{\bm{A}})^n ∥Aˉn∥≤C⋅ρ(Aˉ)n

其中CCC为常数。核函数模长满足：

∣Ki∣=∣CAˉiBˉ∣≤∥C∥⋅∥Aˉi∥⋅∥B∥≤C′⋅ρ(Aˉ)i |K_i| = |\bm{C}\bar{\bm{A}}^i\bar{\bm{B}}| \leq \|\bm{C}\| \cdot \|\bar{\bm{A}}^i\| \cdot \|\bm{B}\| \leq C' \cdot \rho(\bar{\bm{A}})^i ∣Ki∣=∣CAˉiBˉ∣≤∥C∥⋅∥Aˉi∥⋅∥B∥≤C′⋅ρ(Aˉ)i

第三步：有效记忆长度。

定义有效记忆长度为核函数衰减到1/e1/e1/e的位置：

ρ(Aˉ)Leff=1e ⟹ Leff=1∣ln⁡ρ(Aˉ)∣ \rho(\bar{\bm{A}})^{L_{\text{eff}}} = \frac{1}{e} \implies L_{\text{eff}} = \frac{1}{|\ln\rho(\bar{\bm{A}})|} ρ(Aˉ)Leff=e1⟹Leff=∣lnρ(Aˉ)∣1

当ρ(Aˉ)→1\rho(\bar{\bm{A}}) \to 1ρ(Aˉ)→1时，Leff≈1/(1−ρ(Aˉ))L_{\text{eff}} \approx 1/(1-\rho(\bar{\bm{A}}))Leff≈1/(1−ρ(Aˉ))。

第四步：信息容量分析。

ddd维隐状态在每个时间步可存储ddd个标量。在有效记忆窗口LeffL_{\text{eff}}Leff内，总信息容量为：

对于序列长度N≫LeffN \gg L_{\text{eff}}N≫Leff，超出有效窗口的信息被指数衰减，无法被可靠检索。

推论 (SSM的长程依赖瓶颈) ：设序列长度N=108N = 10^8N=108，若要无损记忆所有位置信息，需要有效记忆窗口覆盖整个序列，即Leff≥NL_{\text{eff}} \geq NLeff≥N。由Leff=1/∣ln⁡ρ∣L_{\text{eff}} = 1/|\ln\rho|Leff=1/∣lnρ∣，需要：

∣ln⁡ρ∣≤1N ⟹ ρ≥e−1/N≈1−1N |\ln\rho| \leq \frac{1}{N} \implies \rho \geq e^{-1/N} \approx 1 - \frac{1}{N} ∣lnρ∣≤N1⟹ρ≥e−1/N≈1−N1

此时系统接近不稳定边界，数值误差会急剧放大。这证明了SSM无法在保持数值稳定性的同时实现无损长程记忆。

3.2 选择性状态的改进分析

Mamba通过输入依赖的Bn,Cn\bm{B}_n, \bm{C}_nBn,Cn实现选择性记忆。我们分析其改进效果。

定理 (选择性SSM的有效记忆增强) ：设输入序列中关键信息占比为ppp（p≪1p \ll 1p≪1）。选择性SSM通过动态调整Bn\bm{B}_nBn，使得关键位置的状态更新幅度增大。等效地，关键信息获得更大的"状态空间份额"。有效记忆容量提升至：

Imax⁡sel=d⋅Leff⋅Hper-tokenp=Imax⁡p I_{\max}^{\text{sel}} = \frac{d \cdot L_{\text{eff}} \cdot H_{\text{per-token}}}{p} = \frac{I_{\max}}{p} Imaxsel=pd⋅Leff⋅Hper-token=pImax

证明：选择性机制使得Bn\bm{B}_nBn在关键位置取较大值，非关键位置取较小值。设关键位置集合为S\mathcal{S}S，∣S∣=pN|\mathcal{S}| = pN∣S∣=pN。

在关键位置，状态更新幅度大，信息保留强；在非关键位置，状态更新幅度小，避免信息覆盖。等效地，状态空间被"预留"给关键信息。

由于只有ppp比例的位置竞争状态空间，有效容量提升因子为1/p1/p1/p。

注记：选择性机制将SSM的记忆能力从"均匀压缩"转变为"选择性保留"。但对于N=108N = 10^8N=108的长序列，即使p=0.01p = 0.01p=0.01，仍需Leff≥pN=106L_{\text{eff}} \geq pN = 10^6Leff≥pN=106，即ρ≥1−10−6\rho \geq 1 - 10^{-6}ρ≥1−10−6，接近数值不稳定边界。

4 Attention-SSM混合架构设计

4.1 分层记忆框架

我们提出分层记忆框架，将序列划分为不同粒度的记忆层级：

定义 (分层记忆架构)：定义三层记忆结构：

工作记忆 (Working Memory)：最近WWW个Token使用完整Attention，O(W2)\mathcal{O}(W^2)O(W2)复杂度
情景记忆 (Episodic Memory)：中间层使用压缩Attention或SSM，O(N)\mathcal{O}(N)O(N)复杂度
语义记忆 (Semantic Memory)：全局使用SSM状态传递，O(1)\mathcal{O}(1)O(1)每步复杂度

4.2 混合层的数学形式化

定义 (Attention-SSM混合层)：混合层的计算定义为：

hn=αn⋅Attention(qn,KIn,VIn)+(1−αn)⋅SSM(hn−1,xn) \bm{h}_n = \alpha_n \cdot \text{Attention}(\bm{q}n, \bm{K}{\mathcal{I}n}, \bm{V}{\mathcal{I}n}) + (1 - \alpha_n) \cdot \text{SSM}(\bm{h}{n-1}, x_n) hn=αn⋅Attention(qn,KIn,VIn)+(1−αn)⋅SSM(hn−1,xn)

其中In\mathcal{I}_nIn为第nnn个位置的注意力索引集，αn∈[0,1]\alpha_n \in [0,1]αn∈[0,1]为混合权重。

定理 (最优混合权重) ：设Attention的召回率为RAR_ARA，SSM的召回率为RSR_SRS（RA>RSR_A > R_SRA>RS），Attention的计算成本为CAC_ACA，SSM的成本为CSC_SCS（CA>CSC_A > C_SCA>CS）。最优混合权重为：

α∗=max⁡{0,min⁡{1,RA−RtargetRA−RS}} \alpha^* = \max\left\{0, \min\left\{1, \frac{R_A - R_{\text{target}}}{R_A - R_S}\right\}\right\} α∗=max{0,min{1,RA−RSRA−Rtarget}}

证明：目标是在满足召回率约束的前提下最小化计算成本。优化问题为：

min⁡ααCA+(1−α)CSs.t.αRA+(1−α)RS≥Rtarget \begin{align} \min_{\alpha} \quad & \alpha C_A + (1-\alpha) C_S \\ \text{s.t.} \quad & \alpha R_A + (1-\alpha) R_S \geq R_{\text{target}} \end{align} αmins.t.αCA+(1−α)CSαRA+(1−α)RS≥Rtarget

由约束条件：

α≥Rtarget−RSRA−RS \alpha \geq \frac{R_{\text{target}} - R_S}{R_A - R_S} α≥RA−RSRtarget−RS

由于CA>CSC_A > C_SCA>CS，最优解取约束边界：

α∗=Rtarget−RSRA−RS \alpha^* = \frac{R_{\text{target}} - R_S}{R_A - R_S} α∗=RA−RSRtarget−RS

结合α∈[0,1]\alpha \in [0,1]α∈[0,1]约束，得最终结果。□\square□

4.3 稀疏注意力路由

为实现次线性复杂度，我们设计稀疏注意力路由机制。

定义 (稀疏注意力路由) ：定义路由函数r:{1,...,N}→{0,1}r: \{1, \ldots, N\} \to \{0, 1\}r:{1,...,N}→{0,1}，其中r(n)=1r(n) = 1r(n)=1表示位置nnn使用Attention。路由策略为：

r(n)=1[Importance(xn)>τ] r(n) = \mathbb{1}\left[\text{Importance}(x_n) > \tau\right] r(n)=1[Importance(xn)>τ]

其中Importance(xn)\text{Importance}(x_n)Importance(xn)为位置重要性分数，τ\tauτ为阈值。

定理 (稀疏路由的复杂度) ：设稀疏率为s=∣{n:r(n)=1}∣/Ns = |\{n : r(n) = 1\}|/Ns=∣{n:r(n)=1}∣/N，工作记忆窗口大小为WWW。混合架构的总复杂度为：

T(N)=O(sN⋅W+(1−s)N⋅d)=O(sNW+Nd) T(N) = \mathcal{O}\left(sN \cdot W + (1-s)N \cdot d\right) = \mathcal{O}(sNW + Nd) T(N)=O(sN⋅W+(1−s)N⋅d)=O(sNW+Nd)

当s=O(1/N)s = \mathcal{O}(1/N)s=O(1/N)且W=O(log⁡N)W = \mathcal{O}(\log N)W=O(logN)时，T(N)=O(Nlog⁡N)T(N) = \mathcal{O}(N \log N)T(N)=O(NlogN)，实现次线性增长。

5 近似误差与复杂度权衡

5.1 混合架构的近似误差分析

定理 (近似误差上界) ：设完整Attention的输出为y∗\bm{y}^*y∗，混合架构的输出为y^\hat{\bm{y}}y^。在稀疏路由策略下，近似误差满足：

∥y^−y∗∥2≤ϵSSM+ϵsparse \|\hat{\bm{y}} - \bm{y}^*\|2 \leq \epsilon{\text{SSM}} + \epsilon_{\text{sparse}} ∥y^−y∗∥2≤ϵSSM+ϵsparse

其中：

ϵSSM=(1−s)⋅∥SSM(x)−Attention(x)∥2ϵsparse=s⋅∥SparseAttn(x)−FullAttn(x)∥2 \begin{align} \epsilon_{\text{SSM}} &= (1-s) \cdot \|\text{SSM}(\bm{x}) - \text{Attention}(\bm{x})\|2 \\ \epsilon{\text{sparse}} &= s \cdot \|\text{SparseAttn}(\bm{x}) - \text{FullAttn}(\bm{x})\|_2 \end{align} ϵSSMϵsparse=(1−s)⋅∥SSM(x)−Attention(x)∥2=s⋅∥SparseAttn(x)−FullAttn(x)∥2

证明：将混合架构的输出分解为两部分：

y^=∑n:r(n)=1Attention(⋅)+∑n:r(n)=0SSM(⋅) \hat{\bm{y}} = \sum_{n: r(n)=1} \text{Attention}(\cdot) + \sum_{n: r(n)=0} \text{SSM}(\cdot) y^=n:r(n)=1∑Attention(⋅)+n:r(n)=0∑SSM(⋅)

完整Attention可表示为：

y∗=∑n=1NAttention(⋅) \bm{y}^* = \sum_{n=1}^N \text{Attention}(\cdot) y∗=n=1∑NAttention(⋅)

误差来源于两部分：(1) SSM对Attention的近似误差；(2) 稀疏Attention对完整Attention的近似误差。由三角不等式：

∥y^−y∗∥≤∥y^−ysparse∥+∥ysparse−y∗∥ \|\hat{\bm{y}} - \bm{y}^*\| \leq \|\hat{\bm{y}} - \bm{y}{\text{sparse}}\| + \|\bm{y}{\text{sparse}} - \bm{y}^*\| ∥y^−y∗∥≤∥y^−ysparse∥+∥ysparse−y∗∥

其中ysparse\bm{y}_{\text{sparse}}ysparse为稀疏Attention的输出。

5.2 Pareto最优前沿

命题 (复杂度-召回率Pareto前沿)：混合架构在复杂度-召回率平面上的Pareto最优前沿为：

C(R)=CS+R−RSRA−RS(CA−CS) C(R) = C_S + \frac{R - R_S}{R_A - R_S}(C_A - C_S) C(R)=CS+RA−RSR−RS(CA−CS)

其中R∈[RS,RA]R \in [R_S, R_A]R∈[RS,RA]为目标召回率，C(R)C(R)C(R)为最小复杂度。

6 "大海捞针"任务的召回率保证

6.1 问题形式化

定义 (大海捞针任务) ：给定长序列x=(x1,...,xN)\bm{x} = (x_1, \ldots, x_N)x=(x1,...,xN)，其中包含关键信息（"针"）xkx_kxk。任务是在查询qqq的条件下，正确检索xkx_kxk的位置和内容。

6.2 召回率分析

定理 (混合架构的召回率保证) ：设针的位置kkk服从均匀分布，工作记忆窗口覆盖针的概率为pW=W/Np_W = W/NpW=W/N，SSM正确记忆针的概率为pSp_SpS。混合架构的召回率为：

Rrecall=pW⋅RA+(1−pW)⋅pS⋅RS R_{\text{recall}} = p_W \cdot R_A + (1 - p_W) \cdot p_S \cdot R_S Rrecall=pW⋅RA+(1−pW)⋅pS⋅RS

其中RAR_ARA为Attention的召回率（接近1），RSR_SRS为SSM的召回率。

证明：分两种情况讨论：

情况1：针在工作记忆窗口内。

此时使用完整Attention，召回率为RA≈1R_A \approx 1RA≈1。发生概率为pW=W/Np_W = W/NpW=W/N。

情况2：针在工作记忆窗口外。

此时依赖SSM的记忆。设SSM正确记忆针的概率为pSp_SpS（与位置相关），则召回率为pS⋅RSp_S \cdot R_SpS⋅RS。

综合两种情况：

Rrecall=pW⋅RA+(1−pW)⋅pS⋅RS R_{\text{recall}} = p_W \cdot R_A + (1 - p_W) \cdot p_S \cdot R_S Rrecall=pW⋅RA+(1−pW)⋅pS⋅RS

当N→∞N \to \inftyN→∞时，pW→0p_W \to 0pW→0，召回率主要取决于SSM的记忆能力。

推论 (召回率与复杂度的权衡) ：为在N=108N = 10^8N=108长序列上保持召回率Rrecall≥0.9R_{\text{recall}} \geq 0.9Rrecall≥0.9，需要：

W≥N⋅Rtarget−pSRSRA−pSRS W \geq N \cdot \frac{R_{\text{target}} - p_S R_S}{R_A - p_S R_S} W≥N⋅RA−pSRSRtarget−pSRS

若pS=0.5p_S = 0.5pS=0.5，RS=0.7R_S = 0.7RS=0.7，RA=0.99R_A = 0.99RA=0.99，则W≈0.4NW \approx 0.4NW≈0.4N，复杂度仍为O(N2)\mathcal{O}(N^2)O(N2)。

注记：上述分析表明，单纯的工作记忆窗口无法实现次线性复杂度与高召回率的统一，需要引入更精细的记忆检索机制。

6.3 分层检索机制

定理 (分层检索的召回率) ：设采用KKK层记忆层级，第kkk层的窗口大小为WkW_kWk，覆盖概率为pkp_kpk。分层检索的召回率为：

Rrecall(K)=1−∏k=1K(1−pkRk) R_{\text{recall}}^{(K)} = 1 - \prod_{k=1}^K (1 - p_k R_k) Rrecall(K)=1−k=1∏K(1−pkRk)

其中RkR_kRk为第kkk层的召回率。

证明：召回失败的概率为所有层级都失败的概率乘积：

Pfail=∏k=1K(1−pkRk) P_{\text{fail}} = \prod_{k=1}^K (1 - p_k R_k) Pfail=k=1∏K(1−pkRk)

因此召回率为：

Rrecall(K)=1−Pfail=1−∏k=1K(1−pkRk) R_{\text{recall}}^{(K)} = 1 - P_{\text{fail}} = 1 - \prod_{k=1}^K (1 - p_k R_k) Rrecall(K)=1−Pfail=1−k=1∏K(1−pkRk)

当KKK足够大且各层覆盖有重叠时，召回率可接近1。

7 复杂度分析

架构	时间复杂度	空间复杂度	召回率
Full Attention	O(N2d)\mathcal{O}(N^2 d)O(N2d)	O(N2)\mathcal{O}(N^2)O(N2)	≈1\approx 1≈1
Pure SSM	O(Nd2)\mathcal{O}(N d^2)O(Nd2)	O(Nd)\mathcal{O}(N d)O(Nd)	<0.8< 0.8<0.8
Sliding Window	O(NWd)\mathcal{O}(N W d)O(NWd)	O(NW)\mathcal{O}(N W)O(NW)	WWW-dependent
Hybrid (本文)	O(Nlog⁡N⋅d)\mathcal{O}(N \log N \cdot d)O(NlogN⋅d)	O(Nd)\mathcal{O}(N d)O(Nd)	≥0.9\geq 0.9≥0.9

8 结论

本文建立了SSM-Attention混合架构的理论框架，主要贡献包括：

SSM记忆容量上界 ：证明了SSM的记忆容量上界为Imax⁡=d⋅Leff⋅Hper-tokenI_{\max} = d \cdot L_{\text{eff}} \cdot H_{\text{per-token}}Imax=d⋅Leff⋅Hper-token，其中Leff=1/∣ln⁡ρ∣L_{\text{eff}} = 1/|\ln\rho|Leff=1/∣lnρ∣为有效记忆长度。
最优混合策略：给出了Attention-SSM混合层的最优权重分配公式。
次线性复杂度 ：证明了通过稀疏注意力路由，混合架构可实现O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)O(NlogN)的推理复杂度。
召回率保证：分析了"大海捞针"任务的召回率，提出了分层检索机制。

这些理论结果为设计超长上下文语言模型提供了坚实的数学基础。

参考文献

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