第九章-训练参考

UVA10285 最长的滑雪路径 Longest Run on a Snowboard

题目描述

ben 喜欢滑雪。（以下简叙）在一个 R×C(R,C≤100)的整数矩阵上找一条高度严格递减的最长路。起点任意，但每次只能沿着上下左右 4 个方向之一走一格，并且不能走出矩阵外。如图所示，最长路是按照高度 25,24,23,...,2,1 这样走，长度为 25。矩阵中的数均为0∼100。

输入格式

有多组数据。

第一行为一个整数 N，表示数据组数。对于每组数据，第一行包括一个字符串和两个整数 R,C，为此滑雪者的姓名和矩阵的长宽。

输出格式

对于每组数据，输出一行，格式为：name: answer

name 为当前数据的滑雪者姓名，answer 为你的答案。

解：

深度优先搜索 ：从任意点 (x, y) 出发，向四个方向中高度更低的点递归搜索。
备忘录 ：用一个 dp[x][y] 数组记录从点 (x, y) 出发的最长路径长度。如果某个点已经计算过，就直接返回结果，避免重复计算。
公式：dp[x][y] = 1 + max(dfs(nx, ny)) (对所有高度低于 (x, y) 的相邻点 (nx, ny) 取最大值)。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int r, c;
int hight[105][105];//存储每个点的高度
int dp[105][105];//dp[i][j]表示从(i,j)出发的最长路径长度
int dx[4] = {-1, 1, 0, 0};
int dy[4] = {0, 0, -1, 1};

int dfs(int x,int y){
    if (dp[x][y] != -1) return dp[x][y];

    int max_len = 1;

    for(int i = 0;i < 4;i++){
        int nx = x + dx[i];
        int ny = y + dy[i];

        if(nx >= 1 && nx <= r && ny >= 1 && ny <= c){//保证在边界内
            if(hight[x][y] > hight[nx][ny]){
                max_len = max(max_len, dfs(nx, ny) + 1);
            } 
        }
    }
    return dp[x][y] = max_len;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        string name;
        cin >> name >> r >> c;
        for(int i = 1;i <= r;i++){
            for(int j = 1;j <= c;j++){
                cin >> hight[i][j];
            }
        }

        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        
        int ans = 0;
        // 从每个点出发尝试
        for (int i = 1; i <= r; i++) {
            for (int j = 1; j <= c; j++) {
                ans = max(ans, dfs(i, j));
            }
        }

        cout << name << ": " << ans << endl;
    }
}

UVA10118 免费糖果 Free Candies

题意翻译

桌上有4堆糖果，每堆有N（N≤40）颗。佳佳有一个最多可以装5颗糖的小篮子。他每次选择一堆糖果，把最顶上的一颗拿到篮子里。如果篮子里有两颗颜色相同的糖果，佳佳就把它们从篮子里拿出来放到自己的口袋里。如果篮子满了而里面又没有相同颜色的糖果，游戏结束，口袋里的糖果就归他了。当然，如果佳佳足够聪明，他有可能把堆里的所有糖果都拿走。为了拿到尽量多的糖果，佳佳该怎么做呢？

来自:刘汝佳《算法竞赛入门经典》

解：

位掩码表示篮子：用整数的 20 个位表示每种颜色是否在篮子中
四维 DP ：dp[a][b][c][d] 表示每堆取到第几个位置时的状态
不需要 list/vector：用位运算判断是否存在相同颜色

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int pile[45][5];  // 存储每堆的糖果，pile[i][j] 表示第j堆的第i个
int top[5];       // 每堆的当前顶部位置
int n;
int dp[45][45][45][45];  // DP数组，记录每个状态的最大对数

int dfs(int basket, int pairs) {
    // basket 是一个位掩码，表示篮子中哪些颜色的糖果存在
    // 因为颜色范围 1-20，可以用 20 位表示
    
    int& res = dp[top[1]][top[2]][top[3]][top[4]];
    if(res != -1) return res;
    
    res = pairs;  // 记录当前对数
    
    // 尝试从每堆取糖果
    for(int i = 1; i <= 4; i++) {
        if(top[i] > n) continue;  // 这堆已经取完
        
        int candy = pile[top[i]][i];
        int bit = 1 << candy;  // 糖果对应的位
        
        if(basket & bit) {
            // 篮子中有相同颜色：取出这一对
            top[i]++;
            res = max(res, dfs(basket & ~bit, pairs + 1));
            top[i]--;
        } else {
            // 篮子中没有相同颜色
            if(__builtin_popcount(basket) < 5) {  // 篮子未满
                top[i]++;
                res = max(res, dfs(basket | bit, pairs));
                top[i]--;
            }
        }
    }
    return res;
}

int main() {
//	freopen("in.txt","r",stdin);
    while(cin >> n && n) {
        // 输入：第 i 行表示每堆的第 i 个糖果（从顶部到底部）
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= 4; j++) {
                cin >> pile[i][j];
            }
        }
        
        // 初始化
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= 4; i++) top[i] = 1;
        
        // 开始搜索
        int ans = dfs(0, 0);
        
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}