LeetCode 67. 二进制求和

题目描述

给你两个二进制字符串 a 和 b，以二进制字符串的形式返回它们的和。

示例 1：

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输入: a = "11", b = "1"
输出: "100"

示例 2：

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输入: a = "1010", b = "1011"
输出: "10101"

解题思路

二进制加法与十进制加法类似，从低位到高位逐位相加并处理进位。区别在于二进制是"逢二进一"。模拟竖式计算过程：

用指针 i 和 j 分别指向字符串 a 和 b 的末尾（最低位）。
用变量 carry 记录当前位的和及进位（初始为 0）。
当 i 或 j 未越界，或仍有进位时循环：
- 若 i 未越界，将 a[i] 转换为数字加到 carry，左移 i。
- 若 j 未越界，将 b[j] 转换为数字加到 carry，左移 j。
- 当前位结果为 carry % 2，转换为字符插入结果字符串。
- 更新进位 carry = carry / 2。
反转结果字符串得到正确顺序。

巧妙之处：

合并"当前位和"与"进位"为同一变量 carry。
循环条件覆盖所有情况（包括剩余进位）。
单循环处理两字符串剩余部分。

代码实现

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class Solution {
public:
    string addBinary(string a, string b) {
        int i = a.size() - 1, j = b.size() - 1, carry = 0;
        string res;
        while (i >= 0 || j >= 0 || carry) {
            if (i >= 0) carry += a[i--] - '0';
            if (j >= 0) carry += b[j--] - '0';
            res.push_back(carry % 2 + '0');
            carry /= 2;
        }
        reverse(res.begin(), res.end());
        return res;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度 ：O(max(m, n))，需遍历两字符串各一次。
空间复杂度 ：O(max(m, n))，存储结果字符串所需空间。

示例演示

以 a = "11", b = "1" 为例：

步骤	i	j	carry（进入循环时）	操作	新 carry	当前位结果
初始化	1	0	0	-	-	-
第1次循环	1	0	0	加 `a[1]=1` → `carry=1` 加 `b[0]=1` → `carry=2`	2	`'0'`
进位更新	-	-	-	`carry=2/2=1`	1	-
第2次循环	0	-1	1	加 `a[0]=1` → `carry=2` `j<0` 不加	2	`'0'`
进位更新	-	-	-	`carry=2/2=1`	1	-
第3次循环	-1	-1	1	`i<0` 不加 `j<0` 不加	1	`'1'`
进位更新	-	-	-	`carry=1/2=0`	0	-

结果字符串依次存入 '0', '0', '1'，反转后为 "100"。

小结

本题是模拟竖式加法的经典问题。通过合并当前位和与进位，并利用循环条件简化代码。该思路可扩展至其他进制（如十进制、十六进制），仅需调整模数和除数。

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