6421. 【NOIP2019模拟11.11】匹配

Description

给定 nnn ，表示区间范围在 1∼n1 \sim n1∼n 的线段树，求最大匹配大小和方案数，对 998244353998244353998244353 取模。

TTT 组数据。

n≤1018n \le 10^{18}n≤1018 。

Solution

有点像"没有上司的舞会"，不同点在于这道题是不能共端点。

状态设 fi,0/1f_{i,0/1}fi,0/1 表示当前树的根节点是否和父亲配对的最大匹配（不算它和父亲的这条边），g0/1g_{0/1}g0/1 表示方案数。

第一问很板，但是鉴于本蒟蒻赛时也没想到，所以还是放个转移方程吧。
fi,1=fls,0+frs,0fi,0=max⁡(fi,1,max⁡(fls,0+frs,1,fls,1+frs,0)+1) f_{i,1}=f_{ls,0}+f_{rs,0} \\ f_{i,0}=\max(f_{i,1},\max(f_{ls,0}+f_{rs,1},f_{ls,1}+f_{rs,0})+1) fi,1=fls,0+frs,0fi,0=max(fi,1,max(fls,0+frs,1,fls,1+frs,0)+1)

如果两个儿子都不与 iii 匹配，那么 iii 只能与父亲匹配；

或者是两个儿子与其匹配一个。

推出这个后第二问也是好做的，利用乘法原理即可

只是 gi,0g_{i,0}gi,0 可能有多种转移的方法，每一种的方案数需要累加。

最后发现线段树的形态只和大小有关，所以可以记忆化，节省很多步骤。

线段树只有 log⁡n\log nlogn 层，每层只有两种大小的节点，省略常数复杂度为 Tlog⁡nT \log nTlogn

Code

c++ 复制代码

#include<cstdio>
#include<unordered_map>
#define ll long long int 
using namespace std;
const int Md=998244353;
unordered_map<ll,ll> f[2],g[2];
void dfs(ll l,ll r)
{
	ll ln=r-l+1;
	if(g[0][ln])
		return;
	ll mid=(l+r)/2,ln1=mid-l+1,ln2=r-mid;
	dfs(l,mid),dfs(mid+1,r);
	f[1][ln]=f[0][ln1]+f[0][ln2],g[1][ln]=(g[0][ln1]*g[0][ln2])%Md;
	f[0][ln]=max(f[1][ln],max(f[0][ln1]+f[1][ln2],f[1][ln1]+f[0][ln2])+1);
	if(f[0][ln]==f[1][ln])
		g[0][ln]=g[1][ln];
	if(f[0][ln]==(f[0][ln1]+f[1][ln2]+1))
		g[0][ln]=(g[0][ln]+(g[0][ln1]*g[1][ln2])%Md)%Md;
	if(f[0][ln]==(f[1][ln1]+f[0][ln2]+1))
		g[0][ln]=(g[0][ln]+(g[1][ln1]*g[0][ln2])%Md)%Md;
}
int main()
{
	freopen("match.in","r",stdin);
	freopen("match.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(int i=1;i<=T;i++)
	{
		ll n;
		scanf("%lld",&n);
		f[0].clear(),f[1].clear(),g[0].clear(),g[1].clear();
		g[1][1]=g[0][1]=1ll;
		dfs(1,n);
		printf("%lld %lld\n",f[0][n],g[0][n]);
	}
	return 0;
}

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