动态规划Day34：回文

647. 回文子串

DP 数组定义 ：dp[i][j] 表示字符串 s 中，下标从 i 到 j 的子串 s[i...j] 是否为回文子串（true= 是，false= 否）。

状态转移：

若 s[i] == s[j]：
- 若子串长度≤2（j-i≤1，如单个字符、两个相同字符），直接判定为回文（dp[i][j]=true）；
- 若子串长度 > 2，则依赖内层子串 s[i+1...j-1] 的结果（dp[i+1][j-1]==true 时，dp[i][j]=true）。

遍历顺序 ：从后往前遍历 i（保证计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1] 已被计算），j 从 i 往后遍历（只处理 i≤j 的有效子串），每判定一个回文子串就计数 + 1。

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    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int res = 0;
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j]){
                    if(j - i <= 1){
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    } else if(dp[i + 1][j - 1] == true){
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }

516. 最长回文子序列

求子序列，非连续，所以对不相等的情况还需要处理

DP 数组定义 ：dp[i][j] 表示字符串 s 中，下标 i 到 j 区间内的最长回文子序列长度。

状态转移：

若 s[i] == s[j]：
- 子区间长度 = 1（j-i=0）：只有 1 个字符，dp[i][j]=1；
- 子区间长度 = 2（j-i=1）：两个相同字符，dp[i][j]=2；
- 子区间长度 > 2：当前两个字符可拼接在内部最长回文子序列两侧，dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2；
若 s[i] != s[j]：取「去掉 i 的子区间」或「去掉 j 的子区间」的最大值，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

遍历与结果：

逆序遍历 i（保证计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j]/dp[i][j-1] 已计算），j 从 i 往后遍历；
每次更新 res 为当前最大的 dp[i][j]，最终 res 即为整个字符串的最长回文子序列长度。

cpp 复制代码

int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int res = 0;
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j]){
                    if(j - i == 0){
                        dp[i][j] = 1;
                    }
                    else if(j - i == 1){
                        dp[i][j] = 2;
                    }
                    else if(dp[i + 1][j - 1] > 0){
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                    }
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
                res = max(res, dp[i][j]);
            }
        }
        return res;
    }