【算法】倍增思想（快速幂）

目录

快速幂

算法推导

模板

快速积

---

快速幂

算法推导

假设现在要求 a^b,我们可以用一个 for 循环循环 b 次累乘出结果，还可以用快速幂的方法，假设 b == 11：

即：先写出 b 的二进制表示，如果 b 的二进制表示的某一位是 1，就累乘上 a 的该位置二进制位权次方

模板

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{
	LL ret = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ret = ret * a % p; // 处处取模防止溢出
		a = a * a % p;
		b = b >> 1;
	}

	return ret;
}
LL a, b, p;

int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, qpow(a, b, p));
	return 0;
}

快速积

现在要求 a*b % p ，但 1 ≤ a,b,p ≤ 10^18，即 a 如果直接乘 b，结果会溢出，可以使用 for 循环循环 b 次累加 a，也可以使用快速积：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{
	LL ret = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ret = (ret + a) % p; // 处处取模防止溢出
		a = (a + a) % p;
		b = b >> 1;
	}

	return ret;
}
LL a, b, p;

int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	printf("%lld",qmul(a, b, p));
	return 0;
}