408真题解析-2010-41-数据结构-散列表
一 真题2010-题号
2010-41.（10分）将关键字序列（7, 8, 30, 11, 18, 9, 14）散列存储到散列表中。散列表的存储空间是一个下标从0开始的一维数组，散列函数为 H ( k e y ) = ( k e y × 3 ) m o d 7 H(key)=(key×3)mod 7 H(key)=(key×3)mod 7 ，处理冲突采用线性探测再散列法，要求装填因子为0.7。
1）请画出所构造的散列表；
2）分别计算等概率情况下查找成功和查找不成功的平均查找长度。
二 题目要素解析
核心考点
散列表构造、线性探测法处理冲突、装填因子计算、平均查找长度 ASL。
考查知识点
- 装填因子公式： \\alpha = \\frac{\\text{表中填入元素个数}}{\\text{散列表长度}}
- 散列函数计算
- 线性探测法： H_i = (H(key) + i) \\mod m, \\quad i = 0, 1, 2, \\ldots
- 查找成功 ASL：所有关键字查找次数之和 / 关键字个数
- 查找不成功 ASL：所有散列地址探测到空位置次数之和 / 散列函数取值数
题型特征
给定序列、哈希函数、冲突处理、装填因子 → 建表 + 算 ASL。
易错点
- 先算表长 m，再算哈希地址
- 线性探测时从 i=0 开始计数（比较 1 次算 1 次）
- 查找不成功分母是散列函数模值 m，不是元素个数
大纲 / 教材对应
数据结构 -- 查找 -- 散列表（哈希表）
三 哔哔详解
✅ 步骤1：确定散列表长度
- 关键字数量 n = 7
- 装填因子 \\alpha = 0.7 = \\frac{n}{m} \\rightarrow m = \\frac{7}{0.7} = 10
- 散列表下标范围： 0 \\sim 9 （共10个单元）
✅ 步骤2：逐个插入关键字（线性探测）
关键点 ：散列函数结果 h_0 = (key \\times 3) \\mod 7 是初始探测位置，但实际探测在长度为10的表中进行！
即：若 h_0 冲突，则探测 (h_0 + 1) \\mod 10 , (h_0 + 2) \\mod 10 , ...
| 关键字 | h_0 = (key×3) \\mod 7 | 探测过程（模10） | 最终位置 | 查找成功比较次数 |
|---|---|---|---|---|
| 7 | (7×3) mod 7 = 21 mod 7 = 0 | 0（空）→ 插入 | 0 | 1 |
| 8 | (8×3) mod 7 = 24 mod 7 = 3 | 3（空）→ 插入 | 3 | 1 |
| 30 | (30×3) mod 7 = 90 mod 7 = 6（90÷7=12*7=84, 余6） | 6（空）→ 插入 | 6 | 1 |
| 11 | (11×3) mod 7 = 33 mod 7 = 5（33-28=5） | 5（空）→ 插入 | 5 | 1 |
| 18 | (18×3) mod 7 = 54 mod 7 = 5（54-49=5） | 5（占）→ 6（占）→ 7（空） | 7 | 3（探5,6,7） |
| 9 | (9×3) mod 7 = 27 mod 7 = 6（27-21=6） | 6（占）→ 7（占）→ 8（空） | 8 | 3（探6,7,8） |
| 14 | (14×3) mod 7 = 42 mod 7 = 0 | 0（占）→ 1（空）→ 插入 | 1 | 2（探0,1） |
💡 易错警示：
- 散列函数结果 h_0 是 0 - 6，但探测空间是0 - 9（表长10）！
- 线性探测公式： (h_0 + i) \\mod 10 （不是 \\mod 7 ！）
✅ 步骤3：绘制散列表
| 地址 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 关键字 | 7 | 14 | 8 | 11 | 30 | 18 | 9 |
✅ 步骤4：计算平均查找长度（ASL）
(1) 查找成功 ASL - 每个关键字查找成功的比较次数 = 插入时的探测次数（见上表） - \\text{ASL}_{\\text{成功}} = \\frac{1+2+1+1+3+3+1}{7} = \\frac{12}{7} \\approx 1.714
(2) 查找不成功 ASL - 关键原则：对散列函数所有可能输出值（0~6）计算探测次数（因 h_0 \\in {0,1,2,3,4,5,6} ） - 对每个 h_0 \\in {0,1,2,3,4,5,6} ，模拟查找失败过程（直到遇到空单元）：
| 探测序列（模10） | 失败位置 | 比较次数 | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0(7)→1(14)→2(空) | 2 | 3 |
| 1 | 1(14)→2(空) | 2 | 2 |
| 2 | 2(空) | 2 | 1 |
| 3 | 3(8)→4(空) | 4 | 2 |
| 4 | 4(空) | 4 | 1 |
| 5 | 5(11)→6(30)→7(18)→8(9)→9(空) | 9 | 5 |
| 6 | 6(30)→7(18)→8(9)→9(空) | 9 | 4 |
📌 说明：
-
- h_0 = 0 ：探0(有)→1(有)→2(空) → 比较3次
-
- h_0 = 5 ：探5(有)→6(有)→7(有)→8(有)→9(空) → 比较5次
-
- 仅考虑 h_0 = 0 到 6 （因散列函数输出范围是0~6）
-
- \\text{ASL}_{\\text{不成功}} = \\frac{3+2+1+2+1+5+4}{7} = \\frac{18}{7} \\approx 2.571
四 参考答案
1）散列表：
| 地址 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 关键字 | 7 | 14 | --- | 8 | --- | 11 | 30 | 18 | 9 | --- |
2）
-
查找成功 ASL = \\dfrac{12}{7}
-
查找不成功 ASL = \\dfrac{18}{7}
五 强相关知识点
5.1 本题重要知识点
| 概念 | 说明 | 408高频陷阱 |
|---|---|---|
| 装填因子 | \\alpha = \\frac{n}{m} → 求表长 m | 误用 m=7 （混淆模数与表长） |
| 线性探测范围 | 在 表长 m 的空间 中探测（非散列函数模数） | 探测时错误使用 mod 7 |
| ASL不成功 | 对 散列函数所有输出值 计算（本题0~6） | 错误对地址0~9全部计算 |
| 探测终止条件 | 查找失败：遇到空单元即停止 | 继续探测到表尾 |
5.2 线性探测再散列法
一、基本概念
🔹 定义
线性探测再散列法（Linear Probing） 是开放定址法（Open Addressing）中最简单的一种冲突处理策略：
当发生哈希冲突时，顺序检查散列表中下一个相邻位置（模表长），直到找到空单元或匹配关键字。
🔹 探测序列公式
-
H i = ( H ( k e y ) + i ) m o d m , i = 0 , 1 , 2 , ... , m − 1 H_i = (H(key) + i) \mod m, \quad i = 0, 1, 2, \ldots, m-1 Hi=(H(key)+i)modm,i=0,1,2,...,m−1
-
H(key) ：初始哈希地址（由给定哈希函数计算）
-
- i ：探测次数（从0开始） - m ：散列表长度（注意：模的是表长 m ，不是哈希函数的模数！）
🔹 插入/查找流程
- 计算初始地址 h_0 = H(key)
- 若 T\[h_0\] 为空 → 插入 / 查找失败 3.
- 若 T\[h_0\] 被占但关键字 ≠ key → 探测 h_1 = (h_0 + 1) \\mod m
- 重复步骤 2-3，直到找到空位（插入）或匹配项（成功）或遍历全表（失败）
二、性质与特征
| 性质 | 说明 | 408考查意义 |
|---|---|---|
| 聚集现象（Primary Clustering） | 冲突导致连续占用块，使后续冲突更易发生，形成"雪球效应" | 解释ASL增大的根本原因 |
| 空间局部性好 | 连续内存访问，缓存命中率高 | 对比链地址法的指针跳转 |
| 装填因子敏感 | α > 0.7 时性能急剧下降（408要求 α ≤ 0.7） | 计算表长的关键约束 |
| 删除需特殊标记 | 不能直接置空（会截断探测链），需用"删除标记" | 理解开放定址法删除复杂性 |
| 探测路径唯一 | 分析查找失败探测次数的基础 |
三、与其他探测法对比（408核心辨析）
| 特性 | 线性探测 | 二次探测 | 双散列 | 链地址法 |
|---|---|---|---|---|
| 冲突处理 | 开放定址 | 开放定址 | 开放定址 | 链式结构 |
| 探测公式 | (H+i) \\mod m | (H \\pm i\^2) \\mod m | (H_1 + i \\cdot H_2) \\mod m | 头插/尾插链表 |
| 聚集问题 | 一次聚集（严重） | 二次聚集（较轻） | 无聚集 | 无聚集 |
| 空间开销 | 无额外指针 | 无额外指针 | 无额外指针 | 需指针域（≈50%开销） |
| ASL成功 | \\approx \\frac{1}{2}(1+\\frac{1}{1-\\alpha}) | 优于线性 | 最优 | 1+\\frac{\\alpha}{2} |
| ASL不成功 | \\approx \\frac{1}{2}(1+\\frac{1}{(1-\\alpha)\^2}) | 优于线性 | 最优 | 1+\\alpha |
| 408考查频率 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | ⭐⭐⭐ | ⭐⭐ | ⭐⭐⭐⭐ |
📌 关键区别总结：
-
开放定址 vs 链地址：
- 开放定址：所有元素存表内，表长 ≥ 元素数， \\alpha \\leq 0.7
- 链地址：元素可超表长，表长 = 桶数， \\alpha 可 >1
-
线性 vs 二次探测：
- 线性： i = 1, 2, 3, \\ldots → 严格顺序
- 二次： i = 1\^2, -1\^2, 2\^2, -2\^2, \\ldots → 跳跃探测（需 m 为质数且 \\alpha \\leq 0.5 ）
-
ASL计算差异：
- 开放定址： \\text{ASL}*{\\text{不成功}} 远大于 \\text{ASL}*{\\text{成功}} （因需探完整个簇）
- 链地址： \\text{ASL}*{\\text{不成功}} \\approx \\text{ASL}*{\\text{成功}} （仅多1次指针判断）
六 扩展知识点
七 核心考点
🔥 考点1：散列表构造（★★★★★）
-
关键陷阱：
- 混淆 哈希函数模数 与 表长 m
例： H(key) = key \\mod 7 ，但表长 m = 10 → 探测用 \\mod 10 - 忽略 装填因子求表长： m = \\lceil n / \\alpha \\rceil
- 混淆 哈希函数模数 与 表长 m
-
真题锚点：2010-41、2019-42
🔥 考点2：ASL计算（★★★★★）
| ASL类型 | 计算规则 | 易错点 |
|---|---|---|
| 查找成功 | \\frac{\\sum \\text{每个关键字的探测次数}}{n} | 探测次数 = 插入时比较次数 |
| 查找不成功 | \\frac{\\sum_{h=0}\^{r-1} \\text{从 } h \\text{ 开始探测到空的次数}}{r} （ r = 哈希函数值域大小） | 仅对哈希函数输出值计算 （如 H(key)=key\\mod7 → r=7 ） |
✅ 口诀 ：
"成功看插入，不成功看函数值；
函数模几就除几，表长只管探测域！"
🔥 考点3：聚集现象分析（★★★）
- 问题形式 ：
"为什么线性探测在高装填因子下效率低？" - 标准答案 ：
"因一次聚集（Primary Clustering）导致冲突元素形成连续簇，增加后续探测长度"
八 408考研大纲和教材对应章节
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 408考纲 | "散列表：散列函数、冲突处理（线性探测）、ASL计算" |
| 严蔚敏《数据结构》 | 第9章 9.3节"散列表"（P257-265，ASL计算例题） |
九 考点跟踪
| 年份 | 题号 | 考查内容 | CSDN 参考链接 | VX参考链接 |
|---|---|---|---|---|
| 2010 | 第41题 | 散列表 线性探测 | 408真题解析-2010-41-数据结构-散列表 |
说明 ：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。