随机变量的方差

随机变量的方差

平均绝对偏差
E{∣X−E(X)∣} E\{ |X - E(X)| \} E{∣X−E(X)∣}

能度量随机变量与其均值E(X)E(X)E(X)的偏离程度。但由于上式带有绝对值，运算不方便，为运算方便起见，通常用平方偏差的期望

E{[X−E(X)]2} E\{ [X - E(X)]^2 \} E{[X−E(X)]2}

来度量随机变量XXX与其均值E(X)E(X)E(X)的偏离程度。

定义

设随机变量XXX的数学期望E(X)E(X)E(X)存在，称

E[(X−E(X))2] E[(X - E(X))^2] E[(X−E(X))2]

为随机变量XXX的方差，记为D(X)D(X)D(X)或Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)Var(X)。即

D(X)=Var(X)=E[X−E(X)]2. D(X) = \text{Var}(X) = E[X - E(X)]^2 . D(X)=Var(X)=E[X−E(X)]2.

随机变量XXX的方差反映了XXX的取值与其数学期望的偏离程度。若D(X)D(X)D(X)较小，则XXX的取值比较集中在E(X)E(X)E(X)的附近；反之，若D(X)D(X)D(X)较大则XXX的取值较分散。因此，D(X)D(X)D(X)是刻画XXX取值分散程度的一个量，它是衡量XXX取值分散程度的一个尺度。

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定义

设随机变量XXX的数学期望E(X)E(X)E(X)存在，称

D(X)=E[(X−E(X))2] \sqrt{D(X)} = \sqrt{E[(X - E(X))^2]} D(X) =E[(X−E(X))2]

为随机变量XXX的标准差或均方差，记为σ(X)\sigma(X)σ(X)。

方差单位是原变量单位的平方，因此引入其平方根------标准差 σ(X)\sigma(X)σ(X)，使其与原变量同量纲。

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随机变量的方差本质上是随机变量XXX与其数学期望的偏差平方的数学期望，所以方差计算可以依据随机变量数学期望的方法进行。即对每个可能取值xkx_kxk或xxx，计算其偏离均值的平方，再按概率加权平均。

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若随机变量XXX的方差D(X)D(X)D(X)存在，则：

1. 若XXX为离散型随机变量，其概率函数为p(xi)p(x_i)p(xi)，i=1,2,⋯i = 1, 2, \cdotsi=1,2,⋯，则

D(X)=E[(X−E(X))2]=∑i[xi−E(X)]2p(xi). D(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_i [x_i - E(X)]^2 p(x_i). D(X)=E[(X−E(X))2]=i∑[xi−E(X)]2p(xi).

2. 若XXX为连续型随机变量，其概率密度为f(x)f(x)f(x)，则

D(X)=E[(X−E(X))2]=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x) dx. D(X) = E[(X - E(X))^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} [x - E(X)]^2 f(x) \, dx. D(X)=E[(X−E(X))2]=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx.

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因为[X−E(X)]2=X2−2XE(X)+E2(X)[X - E(X)]^2 = X^2 - 2XE(X) + E^2(X)[X−E(X)]2=X2−2XE(X)+E2(X)，利用数学期望的性质，则可以得到方差计算的另一个公式方法。

定理

设随机变量XXX的数学期望E(X)E(X)E(X)和E(X2)E(X^2)E(X2)均存在，则

D(X)=E(X2)−E2(X). D(X) = E(X^2) - E^2(X). D(X)=E(X2)−E2(X).

这是方差的简化公式，避免了先算均值再代入求和/积分，尤其适合已知矩（moment）的情况。

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