P1359 租用游艇

记录82

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[210][210], dp[210];
int main(){
    int n;
    cin>>n;                              
    for(int i=1;i<n;i++){//i为第几段路，j为第几个站点
        for(int j=i+1;j<=n;j++)  cin >> a[i][j];
    }//dp[1]是0，因为目的地1为出发点，不花钱
    for(int i=2;i<=n;i++)   dp[i]=1e6+10;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i+1; j<=n;j++)  dp[j]=min(dp[j],dp[i]+a[i][j]);//dp[j]是到j位置最少钱
      }//dp[i]是到i最少钱,a[i][j]是在i路段选择到j的钱,i是选择的第几路段,j是其中选择的目的地
    cout<<dp[n];  
    return 0;
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1359

突破口

长江游艇俱乐部在长江上设置了 n 个游艇出租站 1,2,...,n。游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。游艇出租站 i 到游艇出租站 j 之间的租金为 ri,j（1≤i<j≤n）。试设计一个算法，计算出从游艇出租站 1 到游艇出租站 n 所需的最少租金。

思路

📌 题目简述

有 n 个游艇站：1, 2, ..., n（从上游到下游）
可以从任意站 i 直接租船到下游任意站 j（i < j），费用为 r[i][j]
目标：从站 1 到站 n，花费最少租金

💡 注意：可以中途换船！比如 1→3→5，总费用 = r $1$ $3$ + r $3$ $5$

这本质上是一个 有向无环图（DAG）上的最短路径问题 ，可用 动态规划 高效解决。

✅ 动态规划设计

状态定义：

dp[i] 表示 从站点 1 到站点 i 所需的最少租金

初始状态：

dp[1] = 0（起点，不花钱）

状态转移：

要到达站点 j，可以从任意上游站点 i（i < j）直接租船过来
所以：

dp $j$ =min⁡1≤i<j(dp $i$ +r $i$ $j$ )

答案：

dp[n]

代码分析

✅ 代码逐行解释

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[210][210], dp[210];

a[i][j]：存储从站 i 直接到站 j 的租金（i < j）
dp[i]：从站 1 到站 i 的最小租金
数组大小 210（因 n ≤ 200，留余量）

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int main(){
    int n;
    cin >> n;

读入站点数 n

🔹 读入租金矩阵（上三角）

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    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            cin >> a[i][j];
    }

输入是 半矩阵 （只给 i < j 的值）
例如 n=3：
- 第1行：a[1][2], a[1][3]
- 第2行：a[2][3]

正好对应样例输入：

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3
5 15   → a[1][2]=5, a[1][3]=15
7      → a[2][3]=7

🔹 初始化 DP 数组

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    for(int i = 2; i <= n; i++)
        dp[i] = 1e6 + 10;

dp[1] 默认为 0（全局变量初始化为 0）
其他 dp[i] 设为一个足够大的数（表示"暂时不可达"）
题目提示：任何值 ≤ 1e6，所以 1e6+10 是安全的上界

🔹 动态规划递推

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    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            dp[j] = min(dp[j], dp[i] + a[i][j]);
    }

外层 i：枚举当前出发站点
内层 j：枚举从 i 能直达的所有下游站点
更新：如果通过 i 中转到 j 更便宜，就更新 dp[j]

✅ 这正是状态转移方程的实现：
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dp[j] = min(当前dp[j], 从1到i的最小费用 + i→j的直租费用)

🔹 输出答案

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    cout << dp[n];
    return 0;
}

输出从站 1 到站 n 的最小租金

🧪 样例验证（n=3）

输入：

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3
5 15
7

即：

a[1][2] = 5, a[1][3] = 15
a[2][3] = 7

初始化：

dp[1] = 0
dp[2] = dp[3] = 1000010

执行循环：

i=1:
- j=2: dp[2] = min(1000010, 0+5) = 5
- j=3: dp[3] = min(1000010, 0+15) = 15
i=2:
- j=3: dp[3] = min(15, dp[2]+a[2][3]) = min(15, 5+7) = 12

最终 dp[3] = 12 ✅

最优路径：1 → 2 → 3，费用 5 + 7 = 12，比直接 1→3（15）更优

✅ 总结

要点	说明
模型	DAG 最短路 / 区间 DP 变种
状态	`dp[i]` = 1 到 i 的最小租金
转移	枚举所有可能的上一站 `i`，更新 `dp[j]`
复杂度	O(n²)，满足 n≤200
关键技巧	利用"只能往下游走"的性质，按站点顺序递推

此代码简洁、高效、正确，解决此类"分段决策最优化"问题的标准 DP 模板