一、排序算法概述
常见的排序算法包括：
- 直接插入排序
- 冒泡排序
- 简单选择排序
- 希尔排序
- 快速排序
- 堆排序
- 归并排序
二、直接插入排序
1. 算法思想
基本做法：在插入第i个记录时，R₁，R₂，...，Rᵢ₋₁已经排好序，将记录Rᵢ的关键字kᵢ依次与关键字kᵢ₋₁，kᵢ₋₂，...，k₁进行比较，从而找到Rᵢ应该插入的位置，插入位置及其后的记录依次向后移动。
2. 排序过程示例
待排序列：35 12 67 29 51
第1步：[35] 12 67 29 51
第2步：[12 35] 67 29 51
第3步：[12 35 67] 29 51
第4步：[12 29 35 67] 51
第5步：[12 29 35 51 67] ✓完成3. 一句话总结
按顺序插入待排关键字，插入时依次查找位置，直接插入，后面的依次后移。
三、冒泡排序
1. 算法思想
首先将第一个记录的关键字和第二个记录的关键字进行比较，若为逆序，则交换两个记录的值，然后比较第二个记录和第三个记录的关键字，依此类推。
2. 排序过程示例
待排序列：35 12 67 29 51
第一次冒泡排序：
① 12 35 67 29 51 （35和12交换）
② 12 35 67 29 51 （不交换）
③ 12 35 29 67 51 （67和29交换）
④ 12 35 29 51 67 （67和51交换）第二次冒泡排序：
① 12 35 29 51 67 （不交换）
② 12 29 35 51 67 （35和29交换）3. 一句话总结
依次把相邻的两个记录进行比较，然后交换位置。
四、简单选择排序
1. 算法思想
n个记录进行简单选择排序的基本方法是：通过n-i次关键字之间的比较，从n-i+1个记录中选出关键字最小的记录，并和第i（1 ≤ i ≤ n）个记录进行交换，当i等于n时所有记录有序排列。
2. 排序过程示例
待排序列：35 12 67 29 51
①：找出最小值12，与第一个关键字交换
[12 35 67 29 51]
②：找出剩下4个记录中的最小值29，与第二个关键字交换
[12 29 67 35 51]
③：找出剩下3个记录中的最小值35，与第三个关键字交换
[12 29 35 67 51]
④：找出剩下2个记录中的最小值51，与第四个关键字交换
[12 29 35 51 67]3. 一句话总结
每次选择最小的，与第一个没有排过序的记录交换。
五、希尔排序
1. 算法思想
希尔排序又称"缩小增量排序"，是对直接插入排序方法的改进。
先将整个待排记录序列分割成若干子序列，然后分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录基本有序时，再对全体记录进行一次直接插入排序。
2. 排序过程示例
待排序列：48 37 64 96 75 12 26 48 54 03
d₁=5（距离为5的倍数的记录为同一组）
48 37 64 96 75 12 26 48 54 03
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
排序后：[12 26 48 54 03] [48 37 64 96 75]
12 26 48 54 03 48 37 64 96 75
d₂=3（距离为3的倍数的记录为同一组）
12 26 48 54 03 48 37 64 96 75
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
排序后：[12 03 48 37 26] [48 54 64 96 75]
12 03 48 37 26 48 54 64 96 75
d₃=1（距离为1的倍数的记录为同一组，即所有记录为一组）
12 03 48 37 26 48 54 64 96 75
排序后：03 12 26 37 48 48 54 64 75 963. 一句话总结
间隔若干个空的记录分为一组，进行直接插入排序，依次将间隔缩小到1为止。
六、快速排序
1. 算法思想
通过一趟排序将待排的记录划分为独立的两部分，称为前半区和后半区，其中前半区中记录的关键字均不大于后半区记录的关键字，然后再分别对这两部分记录继续进行快速排序，从而使整个序列有序。
2. 具体做法
附设两个位置指示变量i和j，它们的初值分别指向序列的第一个记录和最后一个记录。设枢轴记录（通常是第一个记录）的关键字为pivot，则：
- 首先从j所指位置起向前搜索，找到第一个关键字小于pivot的记录时将该记录向前移到i指示的位置
- 然后从i所指位置起向后搜索，找到第一个关键字大于pivot的记录时将该记录向后移到j所指位置
- 重复该过程直至i与j相等为止
3. 排序过程示例
待排序列：a[8] = {39, 58, 32, 47, 46, 19, 25, 55}
初始状态：
39 58 32 47 46 19 25 55
i j
i=1, j=8, pivot=39
第1次（从j向前搜索）：
25 58 32 47 46 19 39 55
i j
i=1, j=7
第2次（从i向后搜索）：
25 39 32 47 46 19 58 55
i j
i=2, j=7
第3次（从j向前搜索）：
25 19 32 47 46 39 58 55
i j
i=2, j=6
第4次（从i向后搜索）：
25 19 32 39 46 47 58 55
i j
i=4, j=6
第5次（从j向前搜索）：
25 19 32 39 46 47 58 55
i j
i=j=4
一趟快速排序完成，以39为分界线，
前面的都比它小，后面的都比它大。4. 一句话总结
设两个指针指示头尾，从尾开始，首尾交替轮流和枢轴记录（第一个记录）进行比较，并交换位置。
七、堆排序
1. 堆的定义
对于n个元素的关键字序列{k₁, k₂, ..., kₙ}，当且仅当满足下列关系时称其为堆：
小顶堆：
kᵢ ≤ k₂ᵢ
kᵢ ≤ k₂ᵢ₊₁大顶堆：
kᵢ ≥ k₂ᵢ
kᵢ ≥ k₂ᵢ₊₁2. 堆的示例
96
/ \
75 64
/ \ / \
54 48 37 33
/ \
12 03
大顶堆：每个节点都大于等于其子节点3. 算法思想
对一组待排序记录的关键字，首先把它们按堆的定义排成一个序列（即建立初始堆），从而输出堆顶的最小关键字（对于小顶堆而言）。然后将剩余的关键字再调整成新堆，便得到次小的关键字，如此反复，直到全部关键字排成有序序列为止。
4. 一句话总结
反复将待排序列建立成堆，并取堆顶。
八、归并排序
1. 算法思想
把一个有n个记录的无序文件看成是由n个长度为1的有序子文件组成的文件，然后进行两两归并，得到ｎ/2个长度为2或1的有序文件，再两两归并，如此重复，直至最后形成包含ｎ个记录的有序文件为止。
2. 排序过程示例
待排序列：39 19 32 25 46 58 47 55
初始状态（每个元素单独为一组）：
[39] [19] [32] [25] [46] [58] [47] [55]
第1轮归并（两两归并）：
[19 39] [25 32] [46 58] [47 55]
第2轮归并（四个一组）：
[19 25 32 39] [46 47 55 58]
第3轮归并（全部归并）：
[19 25 32 39 46 47 55 58]3. 一句话总结
两两归并为一组，再四个记录归并为一组，依此类推。
九、算法复杂度分析
1. 时间复杂度表示
算法分析时常采用算法的时空开销随n的增长趋势来表示其时空复杂度。
表示方法：T(n) = O(f(n))
其中：
- n反映问题的规模
- T(n)是算法运行所消耗时间或存储空间的总量
- f(n)是自变量为n的某个具体的函数表达式
渐进分析：当n增大到一定值后，T(n)中影响最大的就是n的幂次最高的项，其他的常数项和低幂次项都可以忽略。
示例：
f(n) = n² + 2n + 1
则 T(n) = O(n²)2. 常见复杂度等级
| 复杂度 | 名称 | 说明 |
|---|---|---|
| O(1) | 常数级 | 执行时间与问题规模无关 |
| O(n) | 线性级 | 执行时间与问题规模成正比 |
| O(log n) | 对数级 | 执行时间随问题规模对数增长 |
| O(n²) | 平方级 | 执行时间随问题规模平方增长 |
| O(n log n) | 线性和对数乘积 | 常见于高效排序算法 |
| O(n³) | 立方级 | 执行时间随问题规模立方增长 |
| O(2ⁿ) | 指数级 | 执行时间随问题规模指数增长 |
3. 复杂度增长趋势
O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ)
效率：高 → 低十、排序方法总结与比较
1. 综合对比表
| 排序方法 | 最好时间 | 平均时间 | 最坏时间 | 辅助空间 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 简单选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 不稳定 |
| 冒泡排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | --- | O(n¹·²⁵) | --- | O(1) | 不稳定 |
| 快速排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n²) | O(log₂n)~O(n) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n) | 稳定 |
2. 各排序算法特点
（1）直接插入排序
- 优点：简单、稳定、对基本有序的序列效率高
- 缺点：平均和最坏情况下时间复杂度高
- 适用：小规模数据或基本有序的数据
（2）冒泡排序
- 优点：简单、稳定
- 缺点：效率低
- 适用：教学演示、小规模数据
（3）简单选择排序
- 优点：简单、交换次数少
- 缺点：不稳定、效率低
- 适用：小规模数据
（4）希尔排序
- 优点：比直接插入排序快
- 缺点：不稳定、增量序列选择困难
- 适用：中等规模数据
（5）快速排序
- 优点：平均性能最好、应用广泛
- 缺点：不稳定、最坏情况差
- 适用：大规模随机数据
（6）堆排序
- 优点：空间复杂度O(1)、最坏情况也不错
- 缺点：不稳定
- 适用：大规模数据、对空间要求高
（7）归并排序
- 优点：稳定、性能好
- 缺点：需要额外空间O(n)
- 适用：大规模数据、外部排序
3. 稳定性说明
稳定排序：相等元素的相对顺序在排序后保持不变
- 直接插入排序
- 冒泡排序
- 归并排序
不稳定排序：相等元素的相对顺序可能改变
- 简单选择排序
- 希尔排序
- 快速排序
- 堆排序
十一、选择排序算法的建议
1. 根据数据规模选择
| 数据规模 | 推荐算法 |
|---|---|
| 小规模（n < 50） | 直接插入排序、简单选择排序 |
| 中等规模（50 < n < 1000） | 希尔排序、快速排序 |
| 大规模（n > 1000） | 快速排序、归并排序、堆排序 |
2. 根据数据特点选择
| 数据特点 | 推荐算法 |
|---|---|
| 基本有序 | 直接插入排序、冒泡排序 |
| 随机分布 | 快速排序、堆排序 |
| 大量重复 | 归并排序 |
| 需要稳定 | 归并排序、插入排序 |
3. 根据空间限制选择
| 空间限制 | 推荐算法 |
|---|---|
| 空间紧张 | 堆排序、希尔排序 |
| 空间充裕 | 归并排序、快速排序 |