0 前言
在前五小节中，我们系统阐述了多种基于模型的电流预测控制（DPCC）策略；本文自此开始，将探索基于超局部模型的电流预测控制策略。这两类方法最本质的区别在于所依托的模型不同：前者完全依赖永磁同步电机的精确数学模型实现控制，而后者则基于单输入单输出（SISO）的超局部模型完成电流的预测与控制。
本篇文章基于前面关于无模型预测控制的综述，进行一定关于无模型预测电流控制的探索。前文链接如下:
模型预测控制专题（五）------ Model-free 的一篇review论文_超局部模型(ulm)-CSDN博客
文章标题：Model-free Predictive Control of Motor Drives: A Review
1 何为超局部模型？
超局部模型（Ultra-Local Model）是无模型控制中核心的建模方法，其核心思想是削弱对被控对象精确数学模型的依赖，将系统中所有未知的动态、耦合项、参数摄动和外部扰动归并为"总扰动"，仅保留一阶线性简化形式。即：
输出导数 = 输入增益×输入 + 总扰动
对于我们电机控制而言，超局部模型不依赖电感、电阻、永磁磁链等精确电机参数，仅通过"电流导数"与"电压输入"的线性关系建模。其中电流为输出，电压为输出，其实这个就是单输入单输出模型，非要取个超局部模型的称谓。在得到超局部模型后，再通过观测器实时估计并补偿总扰动，实现鲁棒控制。
1.1 超局部模型推导步骤
永磁同步电机在dq旋转坐标系下的原始电压方程 （工业应用核心形式）为：
{ u d = R s i d + L d d i d d t − ω e L q i q u q = R s i q + L q d i q d t + ω e ( L d i d + ψ f ) \begin{cases} u_d = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt} - \omega_e L_q i_q \\ u_q = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt} + \omega_e (L_d i_d + \psi_f) \end{cases} {ud=Rsid+Lddtdid−ωeLqiquq=Rsiq+Lqdtdiq+ωe(Ldid+ψf)
步骤1：解出电流导数项
将原始电压方程变形为"电流导数 = 电压项 - 所有非电压相关项"的形式，单独分离 d i d d t \frac{di_d}{dt} dtdid和 d i q d t \frac{di_q}{dt} dtdiq：
（1）d轴电流导数推导
对d轴电压方程移项，将 L d d i d d t L_d \frac{di_d}{dt} Lddtdid单独置于左侧：
L d d i d d t = u d − R s i d + ω e L q i q L_d \frac{di_d}{dt} = u_d - R_s i_d + \omega_e L_q i_q Lddtdid=ud−Rsid+ωeLqiq
两边除以 L d L_d Ld，得到d轴电流导数的显式表达式：
d i d d t = 1 L d u d − R s L d i d + ω e L q L d i q (1) \frac{di_d}{dt} = \frac{1}{L_d} u_d - \frac{R_s}{L_d} i_d + \frac{\omega_e L_q}{L_d} i_q \tag{1} dtdid=Ld1ud−LdRsid+LdωeLqiq(1)
（2）q轴电流导数推导
对q轴电压方程展开并移项，将 L q d i q d t L_q \frac{di_q}{dt} Lqdtdiq单独置于左侧：
L q d i q d t = u q − R s i q − ω e L d i d − ω e ψ f L_q \frac{di_q}{dt} = u_q - R_s i_q - \omega_e L_d i_d - \omega_e \psi_f Lqdtdiq=uq−Rsiq−ωeLdid−ωeψf
两边除以 L q L_q Lq，得到q轴电流导数的显式表达式：
d i q d t = 1 L q u q − R s L q i q − ω e L d L q i d − ω e ψ f L q (2) \frac{di_q}{dt} = \frac{1}{L_q} u_q - \frac{R_s}{L_q} i_q - \frac{\omega_e L_d}{L_q} i_d - \frac{\omega_e \psi_f}{L_q} \tag{2} dtdiq=Lq1uq−LqRsiq−LqωeLdid−Lqωeψf(2)
步骤2：定义总扰动项
超局部模型的关键是将所有未知/耦合项归并为总扰动，这一点非常关键需要着重理解，此时令：
- d轴总扰动 f d f_d fd：包含电阻压降、dq轴耦合项等所有非电压输入的扰动
f d = − R s L d i d + ω e L q L d i q f_d = - \frac{R_s}{L_d} i_d + \frac{\omega_e L_q}{L_d} i_q fd=−LdRsid+LdωeLqiq - q轴总扰动 f q f_q fq：包含电阻压降、dq轴耦合项、永磁反电动势等所有非电压输入的扰动
f q = − R s L q i q − ω e L d L q i d − ω e ψ f L q f_q = - \frac{R_s}{L_q} i_q - \frac{\omega_e L_d}{L_q} i_d - \frac{\omega_e \psi_f}{L_q} fq=−LqRsiq−LqωeLdid−Lqωeψf
步骤3：超局部模型标准形式
将总扰动项代入式(1)、(2)，得到PMSM超局部模型的基础形式 ：
{ d i d d t = 1 L d u d + f d d i q d t = 1 L q u q + f q \begin{cases} \frac{di_d}{dt} = \frac{1}{L_d} u_d + f_d \\ \frac{di_q}{dt} = \frac{1}{L_q} u_q + f_q \end{cases} {dtdid=Ld1ud+fddtdiq=Lq1uq+fq
步骤4：整理换参
实际控制中，为进一步降低对电感参数 L d 、 L q L_d、L_q Ld、Lq的依赖，将 1 L d 、 1 L q \frac{1}{L_d}、\frac{1}{L_q} Ld1、Lq1定义为标称增益 α d 、 α q \alpha_d、\alpha_q αd、αq，得到工程中最常用的超局部模型简化形式：
{ d i d d t = α d u d + f d d i q d t = α q u q + f q \begin{cases} \frac{di_d}{dt} = \alpha_d u_d + f_d \\ \frac{di_q}{dt} = \alpha_q u_q + f_q \end{cases} {dtdid=αdud+fddtdiq=αquq+fq
其中 α d ≈ 1 L d \alpha_d \approx \frac{1}{L_d} αd≈Ld1， α q ≈ 1 L q \alpha_q \approx \frac{1}{L_q} αq≈Lq1， f d 、 f q f_d、f_q fd、fq包含所有未建模动态、参数误差、外部扰动和耦合项。
所以何为超局部呢？如果做一个形象的比喻就是本来电机是个复杂、耦合性强的系统模型，但是我仅仅去看电流-电压这个模型，那么大的系统模型我不看了。这个"只看"相对于"全看"的区别，可能就是局部这个单词的由来。这种取名还是越高大上约有吸引力。值得学习。
2 扩展状态观测器如何构建？ Extended State Observer (ESO)
在得到了电机超局部模型后，下一步就是最关键的一步：集总扰动的观测。观测器的效果决定了整体控制策略的性能。我们参照2021年的一篇比较典型的基于ESO的无模型预测模型方法进行探究。（这里跟它不完全一样，文章内是基于亮相静止坐标系进行的建模。本文是基于旋转坐标系进行的建模。）
文章标题 ：Model-Free Predictive Current Control of PMSM Drives Based on Extended State Observer Using Ultralocal Model
2.1 回顾超局部模型
首先，我们回顾从之前推导得到的PMSM dq轴超局部模型出发：
{ d i d d t = α d u d + f d d i q d t = α q u q + f q \begin{cases} \frac{di_d}{dt} = \alpha_d u_d + f_d \\ \frac{di_q}{dt} = \alpha_q u_q + f_q \end{cases} {dtdid=αdud+fddtdiq=αquq+fq
由于dq轴的超局部模型结构完全对称，我们以d轴为例单独推导ESO，q轴的推导过程完全一致
2.2 将总扰动定义为扩展状态 Extended State
ESO的核心思想是：将不可直接测量的"总扰动"扩展为一个新的状态变量 ，从而将原一阶系统转化为一个扩展的二阶系统，通过观测器同时估计原状态即电流 i d i_d id 和 扩展状态即总扰动 f d f_d fd。
步骤1：写出d轴原系统的状态方程
令原状态变量为 x 1 = i d x_1 = i_d x1=id，则d轴超局部模型可写为：
x ˙ 1 = α d u d + f d \dot{x}_1 = \alpha_d u_d + f_d x˙1=αdud+fd
其中 x ˙ 1 = d i d d t \dot{x}_1 = \frac{di_d}{dt} x˙1=dtdid 表示状态的时间导数。
步骤2：定义扩展状态变量
将总扰动 f d f_d fd 定义为第二个状态变量 x 2 x_2 x2，即：
x 2 = f d x_2 = f_d x2=fd
同时，假设总扰动的变化率为 h d ( t ) h_d(t) hd(t)，则扩展后的二阶系统状态方程为：
{ x ˙ 1 = x 2 + α d u d x ˙ 2 = h d ( t ) \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 + \alpha_d u_d \\ \dot{x}_2 = h_d(t) \end{cases} {x˙1=x2+αdudx˙2=hd(t)
系统的输出方程为（电流可直接测量）：
y = x 1 = i d y = x_1 = i_d y=x1=id
2.3 构建线性扩展状态观测器（LESO）
针对上述扩展的二阶系统，我们设计线性扩展状态观测器 来同时估计 x 1 = i d x_1=i_d x1=id 和 x 2 = f d x_2=f_d x2=fd。记状态的估计值为 x ^ 1 , x ^ 2 \hat{x}_1, \hat{x}_2 x^1,x^2，则LESO的结构如下：
{ x ^ ˙ 1 = x ^ 2 + α d u d − β 1 ( x ^ 1 − y ) x ^ ˙ 2 = − β 2 ( x ^ 1 − y ) \begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \hat{x}_2 + \alpha_d u_d - \beta_1 (\hat{x}_1 - y) \\ \dot{\hat{x}}_2 = - \beta_2 (\hat{x}_1 - y) \end{cases} {x^˙1=x^2+αdud−β1(x^1−y)x^˙2=−β2(x^1−y)
其中， x ^ 1 − y = i ^ d − i d \hat{x}_1 - y = \hat{i}_d - i_d x^1−y=i^d−id是电流估计值与实际值的误差； x ^ 1 \hat{x}_1 x^1是d轴电流的估计值 i ^ d \hat{i}_d i^d； x ^ 2 \hat{x}_2 x^2是d轴总扰动的估计值 f ^ d \hat{f}_d f^d； β 1 , β 2 \beta_1, \beta_2 β1,β2是观测器的增益矩阵。
2.4 观测器增益的参数化（带宽法）
为了简化增益调整，通常采用带宽法 设计 β 1 , β 2 \beta_1, \beta_2 β1,β2：将观测器的极点配置在同一个期望的带宽 ω o \omega_o ωo 处，从而将增益转化为单一参数观测器带宽 ω o \omega_o ωo的函数。对于二阶LESO，若将观测器的两个极点都配置在 s = − ω o s = -\omega_o s=−ωo 处，则增益可直接取为：
{ β 1 = 2 ω o β 2 = ω o 2 \begin{cases} \beta_1 = 2 \omega_o \\ \beta_2 = \omega_o^2 \end{cases} {β1=2ωoβ2=ωo2
其中 ω o \omega_o ωo 是观测器带宽，需根据实际系统调整：
- ω o \omega_o ωo 越大，观测器跟踪速度越快，但对测量噪声越敏感；
- 通常取 ω o \omega_o ωo 为控制带宽的3~10倍。
2.5 离散化实现（适合数字控制）
在实际的PMSM数字控制器中，需要将上述连续时间的LESO离散化。假设控制周期为 T s c T_{sc} Tsc，采用欧拉前向差分法 近似微分（ x ^ ˙ ≈ x ^ ( k + 1 ) − x ^ ( k ) T s c \dot{\hat{x}} \approx \frac{\hat{x}(k+1) - \hat{x}(k)}{T_{sc}} x^˙≈Tscx^(k+1)−x^(k)），则离散化后的LESO为：
d轴离散LESO：
{ i ^ d ( k + 1 ) = i ^ d ( k ) + T s c [ f ^ d ( k ) + α d u d ( k ) − β 1 ( i ^ d ( k ) − i d ( k ) ) ] f ^ d ( k + 1 ) = f ^ d ( k ) − T s c β 2 ( i ^ d ( k ) − i d ( k ) ) \begin{cases} \hat{i}_d(k+1) = \hat{i}d(k) + T{sc} \left[ \hat{f}_d(k) + \alpha_d u_d(k) - \beta_1 (\hat{i}_d(k) - i_d(k)) \right] \\ \hat{f}_d(k+1) = \hat{f}d(k) - T{sc} \beta_2 (\hat{i}_d(k) - i_d(k)) \end{cases} {i^d(k+1)=i^d(k)+Tsc[f^d(k)+αdud(k)−β1(i^d(k)−id(k))]f^d(k+1)=f^d(k)−Tscβ2(i^d(k)−id(k))
q轴离散LESO（结构完全一致）：
{ i ^ q ( k + 1 ) = i ^ q ( k ) + T s c [ f ^ q ( k ) + α q u q ( k ) − β 1 ( i ^ q ( k ) − i q ( k ) ) ] f ^ q ( k + 1 ) = f ^ q ( k ) − T s c β 2 ( i ^ q ( k ) − i q ( k ) ) \begin{cases} \hat{i}_q(k+1) = \hat{i}q(k) + T{sc} \left[ \hat{f}_q(k) + \alpha_q u_q(k) - \beta_1 (\hat{i}_q(k) - i_q(k)) \right] \\ \hat{f}_q(k+1) = \hat{f}q(k) - T{sc} \beta_2 (\hat{i}_q(k) - i_q(k)) \end{cases} {i^q(k+1)=i^q(k)+Tsc[f^q(k)+αquq(k)−β1(i^q(k)−iq(k))]f^q(k+1)=f^q(k)−Tscβ2(i^q(k)−iq(k))
2.6 线性扩展状态观测器（LESO）实现代码
这里直接附上观测器部分的代码：
% ====================== ESO核心控制逻辑 ======================
w0 = 4000; % 观测器带宽
alphad = alpha; % d轴标称增益
alphaq = alpha; % q轴标称增益
beta1 = 2 * w0; % 观测器参数1
beta2 = w0 * w0; % 观测器参数2
% d轴扰动观测与电流估计
erro_id = id_est_k - id;
id_est_k1 = id_est_k + Tsc * (Fdk + alphad * Udk - beta1 * erro_id);
Fdk1 = Fdk - Tsc * beta2 * erro_id;
% q轴扰动观测与电流估计
erro_iq = iq_est_k - iq;
iq_est_k1 = iq_est_k + Tsc * (Fqk + alphaq * Uqk - beta1 * erro_iq);
Fqk1 = Fqk - Tsc * beta2 * erro_iq;3 仿真结果分析
3.1 仿真工况
（1）电机空载零速启动加速至2000rpm；
（2）0.2s突加4Nm负载；
（3）0.3s带负载降速至1000rpm；
注：文章中的图像图例存在一定的错误，每张图的最后一个波形为MF-ESO方法。
3.2 标称参数仿真结果
依据超局部模型中的推导， α \alpha α取得电感值的倒数为标称参数。按照所提论文中阐述，在10kHz开关频率下选择观测器带宽为6000-8000 r a d / s rad/s rad/s合适，因此选择 ω o = 6000 r a d / s \omega_o=6000 rad/s ωo=6000rad/s为标称参数。仿真结果如下所示，其中第一行为转速，第二行为idiq波形，第三行为A相相电流波形。此阶段是粗略的看，可以看到系统能够实现较好的电流指令跟踪。
3.3 与DPCC的对比结果
（1）参数准确的情况
对比在电感参数准确情况下的PI控制器、DPCC、MF-ESO控制结果；
在参数完全准确时，启动过程的电流跟踪 DPCC是优于MF-ESO的；稳态跟踪效果基本一致。(这两者动态性能当然是优于PI的，这点毋庸置疑，不然预测就没意义了。)
（2）参数不准确的情况
对比在磁链参数准确情况下的PI控制器、DPCC、MF-ESO控制结果；此时磁链参数设置为标准值的两倍；可以看到DPCC的电流无法跟随给定值，出现了较大的偏差，而MF-ESO则运行过程中无静态误差跟踪。
3.4 标称参属下电流THD与传统PI的对比
ESO这种观测器不仅能够观测上文中推导的已知扰动，还能对频谱范围内的未知扰动例如死区导致的非线性干扰进行已知。在此对比不同策略的THD大小。对比结果如下FFT分析所示。
**（1）PI电流THD = 6.13% **
（2）DPCC电流THD = 5.72%
(3) MF-ESO 电流THD = 5.41% 在基波幅值一致的情况下，5次和7次谐波幅值相对明显较低。
以上仿真结果验证了MF-ESO的参数鲁棒性以及对扰动的抑制效果。
从动态性能的角度考虑，DPCC实际实验绝对无法做到参数完全准确，因此动态性能上在参数准确时效果与DPCC基本一致，在参数不准确时MF-ESO优于DPCC，且优于PI。
从稳态跟踪的角度考虑，参数准确的情况下三者基本一致。但是在参数不准确的情况下，DPCC效果最差，PI与MF-ESO基本一致。
从稳态电流谐波的角度考虑，MF-ESO具备最小电流THD。
从目前的仿真结果整体来看这个控制策略还是具备明显优势的。
下一节内容
在下一节内容中，我们将讨论具体的MF-ESO内部参数对性能的影响。