信奥赛C++提高组csp-s之数论基础专题课：欧拉函数和欧拉定理2（编程案例实践）
信奥赛C++中的欧拉函数和欧拉定理是数论基础专题中重要内容。上次内容我们了讲解其数学原理，并举数学例子帮大家做了深入理解。本次课我们将讲解编程案例实践。
扩展欧拉定理
题目描述
给你三个正整数， a , m , b a,m,b a,m,b，你需要求： a b m o d m a^b \bmod m abmodm。
输入格式
一行三个整数， a , m , b a,m,b a,m,b。
输出格式
一个整数表示答案。
输入输出样例 1
输入 1
2 7 4输出 1
2输入输出样例 2
输入 2
998244353 12345 98765472103312450233333333333输出 2
5333说明/提示
注意输入格式， a , m , b a,m,b a,m,b 依次代表的是底数、模数和次数。
【样例 1 1 1 解释】
2 4 m o d 7 = 2 2^4 \bmod 7 = 2 24mod7=2。
【数据范围】
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ a ≤ 10 9 1\le a \le 10^9 1≤a≤109， 1 ≤ b ≤ 10 20000000 ， 1 ≤ m ≤ 10 8 1\le b \le 10^{20000000}，1\le m \le 10^8 1≤b≤1020000000，1≤m≤108。
思路分析
本题要求计算 a b m o d m a^b \bmod m abmodm，其中 b 可能是一个长度高达 2 × 10 7 2\times 10^7 2×107 的巨大整数，无法直接用整数存储。必须利用扩展欧拉定理来降低指数规模：
a b ≡ { a b ( m o d m ) b < φ ( m ) a b m o d φ ( m ) + φ ( m ) ( m o d m ) b ≥ φ ( m ) a^b \equiv \begin{cases} a^b \pmod{m} & b < \varphi(m) \\[1ex] a^{\,b \bmod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod{m} & b \ge \varphi(m) \end{cases} ab≡{ab(modm)abmodφ(m)+φ(m)(modm)b<φ(m)b≥φ(m)
其中 φ ( m ) \varphi(m) φ(m) 是欧拉函数（ 1 ≤ m ≤ 10 8 1\le m\le 10^8 1≤m≤108，可用试除法求出）。
算法步骤：
- 读入 (a, m) 和字符串 (b)。
- 特判 m = 1：直接输出 0。
- 计算 φ ( m ) \varphi(m) φ(m)。
- 判断 b 与 φ ( m ) \varphi(m) φ(m) 的大小关系：
- 若 b 的十进制长度 ≤ 9 \le 9 ≤9，则可将 b 转为整数与 φ ( m ) \varphi(m) φ(m) 比较，若 b < φ ( m ) b < \varphi(m) b<φ(m)，指数取 b 本身；否则指数取 b m o d φ ( m ) + φ ( m ) b \bmod \varphi(m) + \varphi(m) bmodφ(m)+φ(m)。
- 若 b 的长度 (> 9)，则 b 一定不小于 φ ( m ) \varphi(m) φ(m)，只需计算 b m o d φ ( m ) b \bmod \varphi(m) bmodφ(m)，指数取该余数加 φ ( m ) \varphi(m) φ(m)。
- 用快速幂计算 a 指数 m o d m a^{\text{指数}} \bmod m a指数modm 并输出。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
// 计算欧拉函数 phi(n) (n <= 1e8)
int phi(int n) {
int res = n;
for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
if (n % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
return res;
}
// 快速幂：计算 a^b % mod
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
ll r = 1 % mod;
while (b) {
if (b & 1) r = (r * a) % mod;
a = (a * a) % mod;
b >>= 1;
}
return r;
}
int main() {
int a, m;
string b;
cin >> a >> m >> b;
if (m == 1) { // 模数为1，任何数模1都是0
cout << 0 << endl;
return 0;
}
int p = phi(m); // p = φ(m)
ll e; // 最终指数
int len = b.size();
if (len <= 9) { // b 可以用整数表示，直接比较
ll B = stoll(b);
if (B < p) e = B;
else {
// 虽然 B >= p，但为了保险仍取余数并加上 p
e = B % p + p;
}
} else { // b 长度 >9，肯定 >= p，只需计算余数
ll r = 0;
for (char c : b) {
r = (r * 10 + (c - '0')) % p;
}
e = r + p;
}
ll ans = qpow(a % m, e, m);
cout << ans << endl;
return 0;
}功能分析
- 欧拉函数计算 ：使用试除法，时间复杂度 O ( m ) O(\sqrt{m}) O(m )，对于 m ≤ 10 8 m\le 10^8 m≤108完全可行。
- 大整数处理 ：通过字符串读入 b，利用长度比较和逐位取模避免溢出，同时正确判断 b 与 φ ( m ) \varphi(m) φ(m) 的大小关系，满足扩展欧拉定理的使用条件。
- 指数确定 ：根据比较结果，选择直接使用 b 或 b m o d φ ( m ) + φ ( m ) b \bmod \varphi(m) + \varphi(m) bmodφ(m)+φ(m) 作为最终指数，保证定理适用。
- 快速幂 ：使用二进制拆分，时间复杂度 O ( log 指数 ) O(\log \text{指数}) O(log指数)，指数不超过 2 φ ( m ) ≤ 2 × 10 8 2\varphi(m) \le 2\times 10^8 2φ(m)≤2×108，运行极快。
- 边界处理：特判 m=1，避免后续运算；取模前先将 a 对 m 取余，防止中间溢出。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}