数据结构初阶之二叉树收尾

1.层序遍历

void LevelOrder(BTNode* root)
{
    Queue q;
    QueueInit(&q);
    QueuePush(&q, root);          // 根节点入队
    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* top = QueueFront(&q);  // 取出队首
        printf("%c ", top->data);      // 访问
        QueuePop(&q);                  // 弹出

        if (top->left)                  // 左孩子非空则入队
            QueuePush(&q, top->left);
        if (top->right)                 // 右孩子非空则入队
            QueuePush(&q, top->right);
    }
    QueueDestroy(&q);
}

层序遍历是什么意思，它又被称为广度优先遍历。

算法思想：

层序遍历就是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

• 它借助队列实现：

• 先将根节点入队。

• 只要队列不为空，就重复：

• 取出队首节点，访问它。

• 如果该节点有左孩子，将左孩子入队。

• 如果该节点有右孩子，将右孩子入队。

• 这样就能保证先访问第1层，再第2层，同一层从左到右。

我们这里可以画个图给大家来解释一下：

这里给大家画了第一步，后面就不再演示了，这里不就是按照上面的逻辑嘛。

把根节点弹出，插入根节点的左右节点，然后再弹出2，插入3，依次循环即可，知道队列为空。

2.判断完全二叉树

bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
    Queue q;
    QueueInit(&q);
    QueuePush(&q, root);

    // 第一阶段：按层序遍历，直到遇到第一个空节点
    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* top = QueueFront(&q);
        QueuePop(&q);
        if (top == NULL)
        {
            break;  // 遇到第一个空节点，停止入队
        }
        // 不管孩子是否为空，都入队
        QueuePush(&q, top->left);
        QueuePush(&q, top->right);
    }

    // 第二阶段：检查队列中剩余的所有节点
    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* top = QueueFront(&q);
        QueuePop(&q);
        if (top != NULL)
        {
            QueueDestroy(&q);
            return false;  // 发现非空节点，不是完全二叉树
        }
    }

    QueueDestroy(&q);
    return true;
}

判断算法（基于层序遍历）

核心思想：利用层序遍历，将所有节点的左右孩子（包括空节点）都入队。当遇到第一个空节点时，检查队列中剩余的所有节点，如果还有非空节点，则说明不是完全二叉树；否则是完全二叉树。

步骤：

1. 将根节点入队。
2. 循环直到队列为空：

• 取出队首节点 top。

• 如果 top == NULL，则遇到第一个空节点，跳出循环。

• 否则，将 top->left 和 top->right 入队（无论是否为空）。

3. 然后继续遍历队列剩余部分：

• 如果遇到任何一个非空节点，则说明不是完全二叉树，返回 false。

• 如果全部为空，返回 true。

关键点：

• 为什么遇到第一个空节点就停止入队？

  因为在完全二叉树中，一旦出现空节点，该层之后的所有节点都应该是空。如果继续入队，可能会把后面的非空节点也入队，但我们只需要检查队列中已有的节点是否全是空。

• 为什么第一阶段要把空节点也入队？

  这样才能保证我们能够遇到第一个空节点。如果只入队非空节点，那么遇到空节点时实际上队列中已经没有该空节点了，无法判断。

• 第二阶段检查队列剩余节点：

  这些节点是在遇到第一个空节点之前就已经入队的，它们可能是后续的节点。如果其中有非空，说明在空节点之后还有节点，结构不符合完全二叉树。

我给大家再画图演示一下可能会更加清晰一些：

3.二叉树性质总结

一、满二叉树/完全二叉树性质

1. 第 i 层最多节点数

   若规定根结点的层数为 (1)，则一棵非空二叉树的第 (i) 层上最多有 (2^{i-1}) 个结点。

2. 深度为 h 的二叉树的最大结点数

   若规定根结点的层数为 (1)，则深度为 (h) 的二叉树的最大结点数是 (2^h - 1)（此时为满二叉树）。

3. 满二叉树的深度

   若规定根结点的层数为 (1)，具有 (n) 个结点的满二叉树的深度 (h = log_2(n+1))（(log) 以 (2) 为底）。

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二、一般二叉树性质

**对任何一棵二叉树，如果度为 (0) 的叶结点个数为 (n_0)，度为 (2) 的分支结点个数为 (n_2)，则有：

n_0 = n_2 + 1\]** ### 4.二叉树的性质小练习 #### 4.1题目1 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） * A .不存在这样的二叉树 * B .200 * C .198 * D .199 解析： 根据二叉树的性质：对于任何一棵二叉树，叶子结点数 (n_0) 与度为 2 的结点数 (n_2) 满足关系： \[n_0 = n_2 + 1

已知 (n_2 = 199)，则 (n_0 = 199 + 1 = 200)。

选项 B 正确。

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4.2 题目2

在具有 (2n) 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

• A .(n)
• B .(n+1)
• C .(n-1)
• D .(n/2)

解析：

我们可以想到，完全二叉树的情况，是不是要不N1就为1，要不N1就根本没有啊，那么在这道题里，我们想要保证等式右边为偶数，左边是不是一定为奇数呀，所以在这里N1等于1，所以N0等于n

因此答案为 A。

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4.3题目3

一棵完全二叉树的结点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

• A .11
• B .10
• C .8
• D .12

解析：

完全二叉树的高度 (h) 满足：深度为 (h) 的满二叉树节点数为 (2^h - 1)，深度为 (h-1) 的满二叉树节点数为 (2^{h-1} - 1)。

对于此题，我们可以使用排除法，我们想，如果是完全二叉树，假设高度为h，那么前h-1层是不是都是满的，最后一层可能为1，也可能是满的对不对，所以在本题中，因为总节点数为531，所以只需看是否满足合适区间就可以了：

对于A选项，2的11次方等于2048，就算再减去最后一层，也就是最小值，也得有1000个往上，所以A肯定错

同理，D选项绝对错

我们来看B选项，2的10次方等于1024，也就是说最多有1023个节点，那么最少是不是有511呀，511<531<1023，区间合理，保险起见，我们来看C选项

对于C选项，2的8次方等于512-1等于511，最大都没有达到531，所以不可能。

综上所述，因此答案为 B。

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4.4题目4

一个具有 767 个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（ ）

• A .383
• B .384
• C .385
• D .386

解析：

还是同上一样分析：

因为节点为奇数，所以在这里N1等于0

因此答案为 B。

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5.链式二叉树遍历小练习

5.1题目1

某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH。该完全二叉树的前序序列为（ ）

• A .ABDHEFCG
• B .ABCDEFGH
• C .HDBEAFCG
• D .HDEBFGCA

这题还是很简单的，先把图画出来就好了：

因此，答案为A。

5.2题目2

二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK；中序遍历：HFIEJKG。则二叉树根结点为（ ）

• A . E
• B. F
• C. G
• D .H
  此题同理，画图即可：
  

答案：A

5.3题目3

设一棵二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。

• A .adbce
• B .decab
• C .debac
• D .abcde
  同理，画图：
  
  所以前序遍历为：abcde

答案：D

5.4题目4

某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为

• A. FEDCBA
• B .CABFED
• C .DEFCBA
• D .ABCDEF

同上，画图：

因此，答案：A