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[1.应用 Kruskal 算法求下列图的最小生成树。](#1.应用 Kruskal 算法求下列图的最小生成树。)
a.如果e是加权连通图中权重最小的边，它至少是图的一棵最小生成树的边。
b.如果e是加权连通图中权重最小的边，它必定是图的每一棵最小生成树的边。
c.如果加权连通图中每条边的权重都是互不相同的，该图必定只有一棵最小生成树。
d.如果加权连通图中每条边的权重不是互不相同的，该图必定不止有一棵最小生成树。
[3.如果有必要，要对算法 Kruskal 做什么改动，使得它可以求出任意图的最小生成森林(minimum spanning forest)?(一个最小生成森林中的树都是图的连通分量的最小生成树。)](#3.如果有必要，要对算法 Kruskal 做什么改动，使得它可以求出任意图的最小生成森林(minimum spanning forest)?(一个最小生成森林中的树都是图的连通分量的最小生成树。))
[4.对于包含负权重边的图， Kruskal 算法都能正确工作吗?](#4.对于包含负权重边的图， Kruskal 算法都能正确工作吗?)
[5.设计一个求加权连通图的最大生成树(maximum spanning tree)算法，这是一种包含最大可能权重的树。](#5.设计一个求加权连通图的最大生成树(maximum spanning tree)算法，这是一种包含最大可能权重的树。)
[6.按照不相交子集的抽象数据类型中的操作重写 Kruskal 算法的伪代码。](#6.按照不相交子集的抽象数据类型中的操作重写 Kruskal 算法的伪代码。)
[7.证明 Kruskal 算法的正确性。](#7.证明 Kruskal 算法的正确性。)
[8.对于快速求并的按大小求并版本，证明 find(x)的时间效率属于 O(log n)。](#8.对于快速求并的按大小求并版本，证明 find(x)的时间效率属于 O(log n)。)
[11.斯坦纳(Steiner)树 4 个村庄坐落在欧几里得平面上一个单位正方形的 4 个顶点上。要求用最短的公路网把它们连接起来，使得每对村庄之间都有一条连通的路径。求这样一个网络。](#11.斯坦纳(Steiner)树 4 个村庄坐落在欧几里得平面上一个单位正方形的 4 个顶点上。要求用最短的公路网把它们连接起来，使得每对村庄之间都有一条连通的路径。求这样一个网络。)
1.应用 Kruskal 算法求下列图的最小生成树。
a.
b.
2.判断正误：
a.如果e是加权连通图中权重最小的边，它至少是图的一棵最小生成树的边。
对，最小权边一定可以被 Kruskal 算法最先选中，且不会形成环，因此一定在某棵 MST 里。
b.如果e是加权连通图中权重最小的边，它必定是图的每一棵最小生成树的边。
错，反例：图有环，且环上多条边都是最小权 ，那么可以选其中任意一条，不一定要选 e。
c.如果加权连通图中每条边的权重都是互不相同的，该图必定只有一棵最小生成树。
即使有边权相同，仍然可能只有一棵 MST。比如：一个图虽然有两条边权一样，但它们不在同一个环上，不影响唯一性。
d.如果加权连通图中每条边的权重不是互不相同的，该图必定不止有一棵最小生成树。
错，即使有边权相同，仍然可能只有一棵 MST。比如：一个图虽然有两条边权一样，但它们不在同一个环上，不影响唯一性
3.如果有必要，要对算法 Kruskal 做什么改动，使得它可以求出任意图的最小生成森林(minimum spanning forest)?(一个最小生成森林中的树都是图的连通分量的最小生成树。)
不提前终止 ，遍历完所有边，只要边不形成环就加入集合。最终得到的就是最小生成森林。
4.对于包含负权重边的图， Kruskal 算法都能正确工作吗?
可以。Kruskal 算法只依赖边的大小排序，与边权是否为负无关，因此对负权图仍能正确求出最小生成树。
5.设计一个求加权连通图的最大生成树(maximum spanning tree)算法，这是一种包含最大可能权重的树。
将所有边权取反，用 Kruskal 或 Prim 求最小生成树，得到的就是原图的最大生成树；也可以直接把算法改为每次选择权值最大的安全边。
6.按照不相交子集的抽象数据类型中的操作重写 Kruskal 算法的伪代码。
算法 KRUSKAL_MST(G):
输入: 加权无向图 G = (V, E)
输出: 最小生成树的边集 MST
MST = 空集合
// 初始化：每个顶点单独成集合
for 每个顶点 v ∈ V:
MAKE_SET(v)
// 将所有边按权重 从小到大 排序
将 E 中的边按权重升序排列
// 依次遍历每条边
for 每条排序后的边 (u, v) ∈ E:
// 如果 u 和 v 不在同一个集合 → 不形成环
if FIND(u) ≠ FIND(v):
将边 (u, v) 加入 MST
UNION(u, v) // 合并两个集合
return MST7.证明 Kruskal 算法的正确性。
k=0时，T0=∅，显然是空边集，包含在任何 MST 里。
假设 Kruskal 选的前 k 条边构成的 Tk包含在某棵最小生成树 T∗ 中。
证明k∪{e} 也包含在某棵 MST 中。
情况 1：e 已经在 T∗ 里
那直接成立，Tk+1 也在 T∗ 里。
情况 2：e 不在 T∗ 里
把 e 加入 T∗ 一定会形成一个环。
观察这个环：
e=(u,v) 是环上的一条边
在 T∗ 中，u 和 v 已有一条路径
在选 e 之前，u 和 v 属于不同连通分量（否则 Kruskal 不会选 e）
所以这条路径上一定存在一条边 f，还没有被 Kruskal 选中
因为边是从小到大处理的：w(e)≤w(f)
构造新树：T∗∗=T∗−f+e
权重：w(T∗∗)=w(T∗)−w(f)+w(e)≤w(T∗)
因为 T∗ 是 MST，等号必须成立。所以 T∗∗ 也是 MST，并且 Tk+1=Tk∪{e} 包含在 T∗∗ 中。
8.对于快速求并的按大小求并版本，证明 find(x)的时间效率属于 O(log n)。
任何一棵大小为 s 的树，高度 h 一定满足：s ≥ 2^h
用数学归纳法：
-
初始：每个点自己是一棵树h=0，s=1，1 ≥ 2⁰=1 ✔ 成立。
-
假设：两棵树满足s₁ ≥ 2ʰ¹，s₂ ≥ 2ʰ²。
-
合并（按大小，小的挂大的）：不妨设 h₁ ≤ h₂。把第一棵树挂到第二棵。
- 新高度 h = max (h₁, h₂)+1 = h₂+1
- 新大小 s = s₁ + s₂ ≥ s₂ + s₂ = 2s₂
- 而 s₂ ≥ 2ʰ²
- 所以 s ≥ 2×2ʰ² = 2^(h₂+1) = 2ʰ
即：s ≥ 2ʰ 对新树也成立。
也就是h ≤ log₂n，FIND(x) 就是从 x 走到根 ，走的步数 = 树高 h，我们刚证明：h ≤ log n 。所以 FIND(x) 最坏时间 = O(log n)
11.斯坦纳(Steiner)树 4 个村庄坐落在欧几里得平面上一个单位正方形的 4 个顶点上。要求用最短的公路网把它们连接起来，使得每对村庄之间都有一条连通的路径。求这样一个网络。
在单位正方形内部添加两个夹角均为 120° 的斯坦纳点，连接 4 个顶点与这两个点，得到的斯坦纳树总长度 1+sqrt(3)，是连接这 4 个村庄的最短公路网。
其中，为了让总长度更短，我们额外加进去的新点，就叫斯坦纳点。