【初阶数据结构11】——链式二叉树知识补充

文章目录

前言

[1. 二叉树的层序遍历及相关应用](#1. 二叉树的层序遍历及相关应用)

[1.1 二叉树的层序遍历](#1.1 二叉树的层序遍历)

[1.1.1 层序遍历相关概念](#1.1.1 层序遍历相关概念)

[1.1.2 层序遍历的实现](#1.1.2 层序遍历的实现)

[1.2 判断是否为完全二叉树](#1.2 判断是否为完全二叉树)

2.二叉树的创建与销毁

[2.1 二叉树的创建](#2.1 二叉树的创建)

[2.2 二叉树的销毁](#2.2 二叉树的销毁)

[3. 知识内容补充](#3. 知识内容补充)

结语

前言

在上篇文章中，我们实现了二叉树的部分基本功能，三种遍历，以及统计高度、叶子节点数和指定高度的节点数。本篇文章我们将会完成二叉树的创建、销毁、层序遍历以及判断是否为完全二叉树等功能的实现。

1. 二叉树的层序遍历及相关应用

1.1 二叉树的层序遍历

除了上一篇文章中，介绍到的三种遍历方法，二叉树还存在一种广度遍历方法，即层序遍历。

1.1.1 层序遍历相关概念

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

cpp 复制代码

// 层序遍历
void LevelOrder(Btnode* root)

1.1.2 层序遍历的实现

不同于其他三种遍历方法，层序遍历需要借助堆来实现。具体思想：先将根节点放入堆中，然后利用堆的功能函数，输出对头数据，然后将该节点的非空子节点放入队列中，然后将队头节点出对，在进行下一轮循环，直到此时堆头元素为空。在实际实现中，我们将指向根节点的指针放入队中，一是为了节省空间，二来可以避免因为pop函数导致将树的节点也释放了；同时我们需要将我们以前实现过的Queue.h以及Queue.c放入我们本次项目的文件目录中，然后执行如下操作

将Queue.h以及Queue.c添加进来，就可以利用了，同时需要将Queue.h中的int类型改为指向树的节点的指针。

代码展示：

cpp 复制代码

void LevelOrder(Btnode* root)
{
	Que q;
	QueInit(&q);
	if (root != NULL)
		Quepush(&q,root);//把树的根节点放进队列
	while (!QueEmpty(&q))
	{
		Btnode* front = Quefront(&q);//取队头元素，为了后面进行访问左右节点
		Quepop(&q);
		printf("%d ", front->data);
		if (front->left)
			Quepush(&q, front->left);
		if (front->right)
			Quepush(&q, front->right);
	}
	QueDestroy(&q);
}

1.2 判断是否为完全二叉树

关于这个问题的一些误区：对于满二叉树，我们可以直到确切的数量关系，但是对于完全二叉树，我们只能得到一个大概的范围，所以没办法通过节点的数量来判断，因为一个相同的节点，可以有很多种不同的形态。

对于证明题，最直白的方法就是通过定义来证明。

对于上面的完全二叉树来说，如果进行层序遍历，不论根节点的左右子树是否为空，都存进队列中，那在最后一个叶子节点之后应该是全为空的，否则不是完全二叉树，根据上述的说明，我们可以写出一下代码来进行判断：

cpp 复制代码

bool BinaryTreeComplete(Btnode* root)
{
	Que q;
	QueInit(&q);
	if (root)
		Quepush(&q,root);
	while (!QueEmpty(&q))
	{
		Btnode* front = Quefront(&q);
		Quepop(&q);
		if (front == NULL)
		{
			break;
		}
		Quepush(&q, front->left);//空节点也进队
		Quepush(&q, front->right);
	}
	while (!QueEmpty(&q))
	{
		Btnode* front = Quefront(&q);
		Quepop(&q);
		if (front != NULL)
		{
			QueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}
	QueDestroy(&q);
	return true;

}

2.二叉树的创建与销毁

2.1 二叉树的创建

给出一段字符串的内容，通过前序遍历创建对应的二叉树：

cpp 复制代码

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct BinaryTreenode
{
    char data;
    struct BinaryTreenode* left;
    struct BinaryTreenode* right;
}Btnode;
Btnode* CreatTree(char* s, int* pi)
{
    if (s[*pi] == '#' || s[*pi] == '\0')
    {
        (*pi)++;
        return NULL;
    }
    //abc##de#g##f###
    Btnode* root = (Btnode*)malloc(sizeof(Btnode));
    root->data = s[(*pi)++];
    root->left = CreatTree(s, pi);
    root->right = CreatTree(s, pi);
    return root;
}
int main()
{
    char s[100];
    scanf("%s", s);
    //先通过先序遍历的数据进行建树
    int i = 0;
    Btnode* root = CreatTree(s, &i);
    return 0;
}

这里在记录数组下标时，应该调用指针进行解引用，因为如果是值传递的，在函数递归返回时，i没办法作有效的更改，不同栈帧中的i不会进行相互传递，所以应当用址传递。

2.2 二叉树的销毁

如我们常用的销毁思想一致，就是释放所有节点的空间，那么我们就需要对所有节点进行遍历，这就是我们要思考的，二叉树可用的遍历方法那么多，我们应该使用哪一种？还是说每一种都可以？

我们稍加思考就可以想到，左右子树需要根节点才可以进行调用，那如果我们先将根节点的空间进行释放，我们是不是就没办法释放左右子树，所以根节点应该在最后释放，那么我们需要采用的遍历方法就是后续遍历了，知道了大概思路后，写出代码就变得尤为简单了。

cpp 复制代码

void DestroyTree(Btnode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	DestroyTree(root->left);
	DestroyTree(root->right);
	free(root);
	root = NULL;
}

但是需要在函数外部对node进行置空，防止成为野指针，也可以使用二级指针置空。

3. 知识内容补充

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的**第i层上最多有 2^(i-1)**个结点.
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n2＝ n0＋1

假设二叉树有 N 个结点
* 从总结点数角度考虑： N = n0 + n1 + n2 ①
*
* 从边的角度考虑， N 个结点的任意二叉树，总共有 N-1 条边
* 因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边
* 因此 N 个结点的二叉树总共有 N-1 条边
*
* 因为度为 0 的结点没有孩子，故度为 0 的结点不产生边 ; 度为 1 的结点只有一个孩子，故每个度为 1 的结
点 * * 产生一条边 ; 度为 2 的结点有 2 个孩子，故每个度为 2 的结点产生两条边，所以总边数为：
n1+2*n2
* 故从边的角度考虑： N-1 = n1 + 2*n2 ②
* 结合 ① 和 ② 得： n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
* 即： n0 = n2 + 1

结语

下篇文章将作一些关于链式二叉树的OJ题讲解，感谢观看。