信息学奥赛一本通 1613：打印文章

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【题目考点】

1. 斜率优化动规

【解题思路】

每个单词可以当做一个整数，这是个整数序列。
c i c_i ci为第 i i i个整数，设 c c c序列的前缀和 s s s， s i s_i si表示前 i i i个整数的加和。 m m m为题目中的 M M M。

1. 状态定义

阶段：前 i i i个数
决策：一个数属于哪个子段
策略：子段划分的方案
策略集合：前 i i i个数的所有子段划分方案
条件：代价最小
统计量：代价

状态定义 d p i dp_i dpi：前 i i i个数的所有子段划分方案中，代价最小的方案的代价。

初始状态 d p 0 = 0 dp_0=0 dp0=0

2. 状态转移方程

策略集合：前 i i i个数的所有子段划分方案
分割策略集合：根据分出的最后一个子段的长度分割策略集合

设最后一个子段为区间 [ j + 1 , i ] [j+1,i] [j+1,i]， j j j最小可以为0，最大为 i − 1 i-1 i−1，所以 0 ≤ j ≤ i − 1 0\le j \le i-1 0≤j≤i−1。

该子段的代价为 ( ∑ x = j + 1 i c x ) 2 + m = ( s i − s j ) 2 + m (\sum\limits_{x=j+1}^ic_x)^2+m=(s_i-s_j)^2+m (x=j+1∑icx)2+m=(si−sj)2+m

前 i i i个数进行子段划分的最小代价，为前 j j j个数进行子段划分的最小代价，再加上子段 [ j + 1 , i ] [j+1,i] [j+1,i]的代价，为 d p j + ( s i − s j ) 2 + m dp_j+(s_i-s_j)^2+m dpj+(si−sj)2+m，对所有可能的 j j j的取值，取该表达式的最小值。

因此状态转移方程为： d p i = min ⁡ { d p j + ( s i − s j ) 2 + m } ， 0 ≤ j ≤ i − 1 dp_i=\min\{dp_j+(s_i-s_j)^2+m\}，0\le j\le i-1 dpi=min{dpj+(si−sj)2+m}，0≤j≤i−1。

该状态转移方程可以使用斜率优化动规。

去掉min，将与 j j j相关的量当做变量，整理方程
d p i = d p j + ( s i − s j ) 2 + m = d p j + s i 2 − 2 s i s j + s j 2 + m dp_i = dp_j+(s_i-s_j)^2+m=dp_j+s_i^2-2s_is_j+s_j^2+m dpi=dpj+(si−sj)2+m=dpj+si2−2sisj+sj2+m
d p j + s j 2 = 2 s i s j + d p i − s i 2 − m dp_j+s_j^2=2s_is_j+dp_i-s_i^2-m dpj+sj2=2sisj+dpi−si2−m

设 y = d p j + s j 2 , x = s j , k = 2 s i , b = d p i − s i 2 − m y=dp_j+s_j^2, x = s_j, k = 2s_i, b = dp_i-s_i^2-m y=dpj+sj2,x=sj,k=2si,b=dpi−si2−m

则该方程就是直线方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b，决策点为 ( s j , d p j + s j 2 ) (s_j, dp_j+s_j^2) (sj,dpj+sj2)，看直线经过哪个决策点时截距 b b b最小，将决策点的值带入，即可求出 d p i dp_i dpi。

已知 c i c_i ci是非负的，所以随着 i i i的增大， s i s_i si增大，斜率 k k k随之增大。可以进行队头出队操作，取队头即为最优决策点。

最终结果为 d p n dp_n dpn

【题解代码】

解法1：斜率优化动规

cpp 复制代码

//j+1~i为最后一段 
//dp[i] = min{dp[j]+(s[i]-s[j])^2+M}， 0<=j<=i-1 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 500005;
LL n, m, a[N], s[N], dp[N];//dp[i]：前i个数的所有划分中，代价最小的划分方案的代价 
int q[N], l, r;
LL X(int j)
{
	return s[j];
}
LL Y(int j)
{
	return dp[j]+s[j]*s[j];
}
LL K(int i)
{
	return 2*s[i];
}
bool cmp(LL a1, LL b1, LL a2, LL b2)//a1/b1 <= a2/b2
{
	return a1*b2 <= a2*b1;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	while(cin >> n >> m)
	{
		l = 1, r = 0;//单调队列清空 
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			cin >> a[i];
			s[i] = s[i-1]+a[i];
		}
		q[++r] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			while(l < r && cmp(Y(i-1)-Y(q[r]), X(i-1)-X(q[r]), Y(q[r])-Y(q[r-1]), X(q[r])-X(q[r-1])))
				--r;
			q[++r] = i-1;
			while(l < r && cmp(Y(q[l+1])-Y(q[l]), X(q[l+1])-X(q[l]), K(i), 1))
				++l;
			dp[i] = dp[q[l]]+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]])+m;
		}
		cout << dp[n] << '\n';
	}
	return 0;
}