【题目描述】
题目来源：CQOI 2006
有一个 n 个元素的数组，每个元素初始均为 0。有 m 条指令，要么让其中一段连续序列数字反转------0 变 1，1 变 0（操作 1），要么询问某个元素的值（操作 2）。
例如当 n=20 时，10 条指令如下：
|-------|-----|------------------------|
| 操作 | 回答 | 操作后的数组 |
| 1110 | N/A | 11111111110000000000 |
| 26 | 1 | 111111⎯⎯11110000000000 |
| 212 | 0 | 111111111100⎯⎯00000000 |
| 1512 | N/A | 11110000001100000000 |
| 26 | 0 | 111100⎯⎯00001100000000 |
| 215 | 0 | 111100000011000⎯⎯00000 |
| 1616 | N/A | 11110111110011110000 |
| 11117 | N/A | 11110111111100001000 |
| 212 | 1 | 111101111111⎯⎯00001000 |
| 26 | 1 | 111101⎯⎯11111100001000 |
【输入】
第一行包含两个整数 n,m，表示数组的长度和指令的条数；
以下 m 行，每行的第一个数 t 表示操作的种类：
若 t=1，则接下来有两个数 L,R，表示区间 [L,R] 的每个数均反转；
若 t=2，则接下来只有一个数 i，表示询问的下标。
【输出】
每个操作 2 输出一行（非 0 即 1），表示每次操作 2 的回答。
【输入样例】
20 10
1 1 10
2 6
2 12
1 5 12
2 6
2 15
1 6 16
1 11 17
2 12
2 6【输出样例】
1
0
0
0
1
1【提示】
数据范围与提示：
对于 50% 的数据，1≤n≤10^3,1≤m≤10^4 ；
对于 100% 的数据，1≤n≤10^5,1≤m≤5×10^5 ，保证 L≤R。
一、 题目分析
【题目大意】 给定一个长度为n的数组，初始所有元素均为0。系统会给出m条指令，包含两种操作：
-
操作 1（区间修改）：给定区间[L,R]，将区间内的数字反转（0 变 1，1 变 0）。
-
操作 2（单点查询）：给定下标i，查询当前位置的值。
【数据范围】 1≤n≤10^5,1≤m≤5×10^5。 极限情况下有50万次操作，要求算法的时间复杂度必须严格控制在 O(MlogN) 级别，否则必定超时。
二、 思考过程
-
反转操作的数学本质是什么？ 在二进制的世界里，状态的"反转"等价于"加上1，然后对2取模"。也就是说，如果一个位置被翻转了k次，它的最终状态就是 k%2。
-
如何高效处理"区间加法"？ 如果在原数组上直接跑
for循环，时间复杂度是O(N)，面对50 万次指令会直接崩溃。此时必须引入差分数组 。 对于差分数组d，给原数组区间[L,R] 加上 1，等价于在差分数组上做两次单点修改：d[L]+=1和d[R+1]-=1。 -
如何高效处理"单点查询"？ 原数组第i个位置的值，等于差分数组d从1到i的前缀和。
经过这三步推演，问题被彻底剥去了伪装：我们需要一个数据结构，能够极速支持**"单点修改"和 "查询前缀和"。这正是树状数组的绝对主场。
三、 解题思路
我们将原问题完全转换为树状数组的标准模板：
-
建树阶段：由于初始数组全为0，差分数组也全为0，所以不需要任何预处理，直接开一个初始值为0的树状数组即可。
-
修改阶段 ：遇到指令1，读入L和R。调用
update(L,1)和update(R+1,-1)。 -
查询阶段 ：遇到指令2，读入i。调用
query(i)获取差分数组的前缀和（即该位置被翻转的总次数），然后输出query(i)%2即可。
四、 算法设计
-
lowbit函数 ：
x&(-x)，用于快速定位树状数组的管辖区间。 -
update函数 ：通过
x+=lowbit(x)向上攀升，更新所有包含该单点的父节点。 -
query函数 ：通过
x-=lowbit(x)向下聚拢，快速累加出前缀和。 -
IO优化 ：使用
cin.tie(0)解除流绑定，确保在5×10^5级别的数据输入下不被卡常。
五、 时空复杂度分析
-
时间复杂度：
-
树状数组的每次
update和query都是严格的O(logN)。 -
共有M条指令，总体时间复杂度为O(MlogN)。在 10^5 级别的数据下，最大计算量仅千万级别，100ms 内即可瞬间跑完。
-
-
空间复杂度：
- 只需开辟一个大小为N+1的树状数组
c[]，空间复杂度为O(N)。极致轻量。
- 只需开辟一个大小为N+1的树状数组
六、 易错点总结
-
数组越界防范 ：当反转的区间到达数组最右端（R=n）时，
update(R+1,-1)会试图访问 n+1 的位置。但由于update的内部循环条件是while(x<=n)，参数n+1传进去后会直接跳过循环，天然免疫了越界报错。 -
取模负数陷阱 ：C++中负数取模依然是负数。本题中由于是累加区间覆盖次数，前缀和绝对不可能为负，所以写
update(R+1,-1)是安全的。但更严谨的竞赛技巧是：既然只关心奇偶性，加1和减1效果相同，可以直接写成update(R+1,1)，从根源上杜绝负数的出现。 -
滥用线段树：本题用线段树完全可以做，但线段树常数极大，容易在极限数据下被卡。能用树状数组解决的差分问题，绝不用线段树。
七、 题解
本题是利用"差分思想"将区间操作降维的极佳例题。通过将"区间反转"转化为"区间加法"，再利用差分将其转化为"单点修改"，最终用常数极小、代码极短的树状数组完成了对暴力算法的降维打击。
八、 完整代码
cpp
//区间修改 单点查询 翻转可以理解为+1然后对2取模
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m;
int a[500010];//原数组 每个元素均为0
int d[500010];//差分数组
int c[500010];//树状数组
//返回x二进制表示下最低位的1所代表的整数
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
//树状数组更新操作
void update(int x,int k){
//向上更新所有包含x的大区间
while(x<=n){
c[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
//树状数组查询
int query(int x){
int ret=0;//记录前缀和
while(x>0){
ret+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
//核心：总翻转次数对2取模，得出最终的0或1
return ret%2;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=0;//原数组 每个元素均为0
d[i]=a[i]-a[i-1];//差分数组
update(i,d[i]);//更新树状数组
}
//m组指令
while(m--){
int t;
cin>>t;
if(t==1){//l-r区间翻转
int l,r;
cin>>l>>r;
update(l,1);
update(r+1,-1);
}
else{//查询
int i;
cin>>i;
cout<<query(i)<<"\n";
}
}
return 0;
}