🌟《二分王国的三大秘技（竞赛必会）》》
小侦探小明已经学会了普通二分、左边界、右边界。
这一天，老师交给他三张神秘任务卡：
🧩 第一种：找"第一个 ≥ target"
1、🎯 故事
宝藏街：
1 3 5 7 92、👉 任务：找 第一个 ≥ 6 的数
答案应该是：
7（位置3）3、🧠 思想（超级重要）
👉 不是找"等于"
👉 而是找：
第一个满足条件的！4、🧾 模板（最常用！）
int lower_bound(int a[], int n, int target)
{
int left = 0, right = n - 1;
int ans = n; // 默认不存在
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(a[mid] >= target)
{
ans = mid;
right = mid - 1; // 往左找更小的满足条件
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return ans;
}5🎯 一句话记忆
👉 满足条件 → 往左缩！
🧩 第二种：找"第一个 > target"
1、🎯 故事
1 3 5 7 9👉 找 第一个 > 5 的数
答案：
7（位置3）2、🧠 思想
👉 比第一种更严格一点：
必须 > target3、🧾 模板
int upper_bound(int a[], int n, int target)
{
int left = 0, right = n - 1;
int ans = n;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(a[mid] > target)
{
ans = mid;
right = mid - 1;
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return ans;
}4、🎯 一句话记忆
👉 严格满足 → 往左缩！
🧩 第三种：二分答案
1、🎯 故事
小明遇到一个超级难题：
👉 有一堆木头，要切成 k 段
👉 每段长度尽量长
问：最大长度是多少？
2、🤯 普通想法？
👉 枚举所有长度 ❌（太慢）
3、💡 神奇思路（二分答案！）
👉 答案在一个范围里：
长度 ∈ [1, 最大木头长度]👉 我们可以：
猜一个长度 mid
看看"行不行"4、🧠 核心思想（竞赛灵魂）
👉 把问题变成：
这个答案"可不可以"？👉 如果可以 → 尝试更大
👉 如果不行 → 变小
5、🧾 模板
bool check(int mid)
{
// 判断 mid 是否可行
}
int binary_search_answer()
{
int left = 1, right = 1000000;
int ans = 0;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(check(mid))
{
ans = mid;
left = mid + 1; // 尝试更大！
}
else
{
right = mid - 1;
}
}
return ans;
}6、🎯 一句话记忆
👉
能行 → 往更大试
不行 → 往更小试7、⚖️ 三大变形对比总结
| 类型 | 本质 | 特点 |
|---|---|---|
| lower_bound | 第一个 ≥ | 常用于区间 |
| upper_bound | 第一个 > | 处理重复 |
| 二分答案 | 猜答案 | 竞赛核心 |
🧠 最终大脑模型
👉 所有二分题，本质只有两种：
🟢 类型1：找位置
数组里找数✔ lower_bound / upper_bound / 左右边界
🔵 类型2：找答案
答案满足单调性✔ 二分答案（最重要！！）
🎁 竞赛口诀
👉
找位置 → 看大小
找答案 → 看能否课后训练：竞赛真题
🌟 第1题：切木头（入门之王）
1、🎯 故事
小明有很多木头：
8 5 6他想切成 k = 5 段一样长的小木头
👉 问：每段最长是多少？
2、🧠 思考（关键！）
👉 长度越大 → 能切的段数越少
👉 长度越小 → 能切的段数越多
👉 出现：
单调性！（可以二分！）3、🔍 图解
假设 mid = 3：
8 → 2段
5 → 1段
6 → 2段
总共 = 5 ✔👉 可以！
4、🧾 check函数
bool check(int mid)
{
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
cnt += a[i] / mid;
return cnt >= k;
}5、🧾 完整代码
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100005];
int n, k;
bool check(int mid)
{
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
cnt += a[i] / mid;
return cnt >= k;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
int left = 1, right = 1000000000;
int ans = 0;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(check(mid))
{
ans = mid;
left = mid + 1;
}
else
{
right = mid - 1;
}
}
cout << ans << endl;
}🌟 第2题：分牛（经典🔥）
1、🎯 故事
有一排牛棚：
1 2 8 12 17要放 3头牛
👉 要让牛之间距离尽量大！
2、🧠 思考
👉 距离越大 → 能放的牛越少
👉 距离越小 → 能放的牛越多
👉 又是：
单调性！3.🔍 图解（mid = 7）
放1 → 下一个 ≥8 → 8 ✔
放8 → 下一个 ≥15 → 17 ✔
共3头 ✔4、🧾 check函数（贪心）
bool check(int mid)
{
int cnt = 1;
int last = a[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(a[i] - last >= mid)
{
cnt++;
last = a[i];
}
}
return cnt >= k;
}5、🧾 完整代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[100005];
int n, k;
bool check(int mid)
{
int cnt = 1, last = a[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(a[i] - last >= mid)
{
cnt++;
last = a[i];
}
}
return cnt >= k;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
sort(a, a + n);
int left = 0, right = a[n-1];
int ans = 0;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(check(mid))
{
ans = mid;
left = mid + 1;
}
else
{
right = mid - 1;
}
}
cout << ans << endl;
}🌟 第3题：抄书问题（经典🔥）
1、🎯 故事
有一排书：
10 20 30 40要给 2个人抄
👉 每人连续抄书，注意是按照顺序连续抄书，一个人抄完，另外一个才能抄书。
👉 求：最大工作量最小
2、🧠 思考
👉 工作量越小 → 需要的人越多
👉 工作量越大 → 人数越少
👉 单调成立！
4、🔍 图解（mid = 60）
10+20+30 = 60 一个人✔
40 一个人 ✔
共2人 ✔5、🧾 check函数
bool check(int mid)
{
int cnt = 1, sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(sum + a[i] > mid)
{
cnt++;
sum = a[i];
}
else
{
sum += a[i];
}
}
return cnt <= k;
}🧾 完整代码
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100005];
int n, k;
bool check(int mid)
{
int cnt = 1, sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(sum + a[i] > mid)
{
cnt++;
sum = a[i];
}
else
{
sum += a[i];
}
}
return cnt <= k;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
int left = 0, right = 1000000000;
int ans = right;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(check(mid))
{
ans = mid;
right = mid - 1; // 找更小！
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
cout << ans << endl;
}🧠 三题核心总结
| 题目 | check含义 | 方向 |
|---|---|---|
| 切木头 | 能切够吗 | ✔ 往大找 |
| 分牛 | 能放下吗 | ✔ 往大找 |
| 抄书 | 人够吗 | ✔ 往小找 |
🎯 关键理解
👉 二分答案其实就是：
猜答案 + 判断对不对