为什么想聊聊拓扑学？或许是因为它是关于形状的数学，它能在变换中保持不变。不是刚性结构，也不是代数的精确性，而是当事物拉伸、弯曲和变化时，那些保持不变的东西。在所有变化之下，那些不变的东西。
在拓扑学中，重要的不是精确的位置，而是连通性：哪些事物与其他事物连续，哪些事物可以变形而不撕裂。而在量子力学中，有趣的真相往往是非局域的，它不位于任何单一点，而是以某种方式分布在整个系统中。
让我们从一个数学家长期以来都无法解答的问题开始。
什么时候一个形状本质上与另一个形状相同？
大小不同，形状也不完全相同，但在某种更深层次的意义上是相同的。咖啡杯和甜甜圈在拓扑学上是相同的。球体和立方体也是相同的。但球体和甜甜圈是不同的。
问题是：是什么使它们不同？甜甜圈具有球体所不具备的什么属性？
拓扑学给出的答案是：孔。甜甜圈有一个孔，任何拉伸或弯曲都无法去除，只能通过撕裂去除。而拓扑学正是研究在拉伸和弯曲后仍然存在的事物。当允许自由变形，但不能撕裂或粘合时，什么保持不变。
所以拓扑学与测量无关。它研究的是能够通过变换而保持不变的结构。
球体，就像一个球，它没有孔。这对于你能在它表面做的事情至关重要，包括它是否能被梳平。
"我们不能破坏表面"，这正是限制条件。撕裂会制造出原本不存在的洞。粘合会消除原本存在的洞。两者都会改变其本质结构。所以我们禁止这两种行为，并提出疑问：什么才能保留下来？
至于他们是如何想到这个概念的？它源于一个实际问题。1736年，有人问欧拉关于柯尼斯堡的桥梁。能否步行穿过这座城市，每座桥都恰好经过一次？他意识到答案与距离或形状无关，只与事物之间的连接方式有关。几何形状并不重要。只有连接性才重要。
这是拓扑学的第一个思想，尽管他当时并没有这样称呼它。他意识到，有些问题关乎几何形状之下的结构。
之后，数学家们不断发现同样的现象，某些属性无论如何变形都不会改变。他们开始追问：这些属性是什么？我们如何系统地研究它们？
拓扑学正是为了解答这个问题而建立的。
"变换后保持不变的是什么"。