Leetcode Hot 100 ——多维动态规划

多维动态规划

62. 不同路径

动规五部曲

1、确定 dp 数组及下标含义

dp[i][j]表示从起点 (0, 0) 走到 (i, j) 的不同路径数。

下标范围：i 从 0 到 m-1，j 从 0 到 n-1。

2、确定递推公式

机器人只能向下或向右移动，因此到达 (i,j) 只能从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 过来。

所以：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

3、初始化

第一行 (0, j)：机器人只能一直向右走，只有一条路径，所以 dp[0][j] = 1。

第一列 (i, 0)：机器人只能一直向下走，只有一条路径，所以 dp[i][0] = 1。

注意：dp[0][0] 也为 1，表示起点到起点有一条路径。

4、遍历顺序

根据递推公式，dp[i][j] 依赖左边和上边的值，因此应从左到右、从上到下逐行计算。

先初始化第一行和第一列，然后从 i=1, j=1 开始循环填充。

核心代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

【注】

1、最后一个for循环i和j从1开始，否则会越界！！！

64.最小路径和

动态规划五部曲（与上一题整体结构一样，多了一个求值）

1、确定dp数组及下标含义

dp[i][j]表示从起点 (0, 0) 走到 (i, j) 的最小路径和，最终答案为 dp[m-1][n-1]。

2、确定递推公式

由于只能从上方或左方过来，到达 (i,j) 的最小路径和取决于：

从上方 (i-1,j) 过来，路径和为 dp[i-1][j] + grid[i][j]

从左方 (i,j-1) 过来，路径和为 dp[i][j-1] + grid[i][j]

取两者较小值：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

3、初始化
边界情况：

起点：dp[0][0] = grid[0][0]

第一行（i=0, j>0）：只能从左边来，所以 dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

第一列（j=0, i>0）：只能从上边来，所以 dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

4、遍历顺序

根据递推公式，dp[i][j] 依赖左边和上边的值，因此应从左到右、从上到下逐行计算。

先初始化第一行和第一列，然后从 i=1, j=1 开始循环填充。

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
        dp[0][0]=grid[0][0];
        for(int i=1;i<m;i++) dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0];
        for(int j=1;j<n;j++) dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j];
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+grid[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]);
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

5、最长回文子串

动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i, j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2、确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

① 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

② 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况：
情况一： 下标i与j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串。
情况二： 下标i与j相差为1，例如aa，也是回文子串。（因为前提是s[i] == s[j]））
情况三： 下标i与j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是i+1与j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
    maxlenth = j - i + 1;
    left = i;
    right = j;
}

3、dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，那刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

4、确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

整体代码：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int maxlenth = 0;
        int left = 0;
        int right = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { //从下往上遍历
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一和情况二
                        dp[i][j] = 1;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { //情况三
                        dp[i][j] = 1;
                    }
                }
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                    maxlenth = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }

        }
        return s.substr(left, right - left + 1);
    }
};

1143. 最长公共子序列

动规五部曲分析如下：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列长度为dp[i][j]

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]而不是[0,i]？

这样定义是为了后面代码实现方便，简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2、确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

① 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素

所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

② 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3、dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

text1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

代码：（注意+1）

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

4、确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

最后dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果。

核心代码：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
        for(int i=1;i<=text1.size();i++){
            for(int j=1;j<=text2.size();j++){
                if(text1[i-1]==text2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

【注】

1、if(text1[i-1]==text2[j-1]){

注意是i-1和j-1！！因为i 和 j 是从1开始遍历到 size() 的。

72. 编辑距离

编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。跟上一题一样，其实用i来表示也可以！ 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。 因为字符串最终下标是.size()-1，所以最终return dp[word1.size()][word2.size()];

2、确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

一、if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j]就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

二、if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

操作一： word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

操作二： word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！

操作三： 替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。

只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3、dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义：

dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为

dp[i][j]。

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串 word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

所以C++代码如下：

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4、 确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

与上一题同理，从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

核心代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size()+1,vector<int>(word2.size()+1,0));
        for(int i=0;i<=word1.size();i++) dp[i][0]=i;
        for(int j=0;j<=word2.size();j++) dp[0][j]=j;
        for(int i=1;i<=word1.size();i++){
            for(int j=1;j<=word2.size();j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }
                else{
                    dp[i][j]=min({dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]})+1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
        
    }
};