位运算(两整数之和)(3)

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一.题目

二.思路讲解

2.1 思路讲解

关于这题，其实给我们普及了一下异或的另一种叫法------无进位相加 。所谓无进位相加，就是只进行按位加但不处理进位，即 1+1=0 不向前进一位。那么，两个数 a 和 b 的异或结果与它们的真实和之间有什么关系呢？只有两种可能：a ^ b != a + b 或 a ^ b == a + b 。前者之所以不相等，就是因为某些位上发生了进位，导致异或结果比真实和少了这些进位的值。因此，我们只需要找出哪些位发生了进位，然后将这些进位补上，就能得到真实和。

那么如何找出进位呢？观察二进制加法，只有两个位都是 1 时才会产生进位，即 1 & 1 = 1 。所以，我们可以用与运算（&） 来检测哪些位需要进位：a & b 的结果中，为 1 的位就是需要进位的位。但是进位是要加到更高一位上的，所以我们需要将 a & b 的结果左移一位，得到真正的进位值。例如，最低位都是 1，进位就要加到第二位。

然而，进位本身可能又会引发新的进位，就像计算 999 + 1 ，最低位进位后，中间位又会产生进位，一直传递下去。因此，这个过程需要循环进行 ，直到不再产生进位为止。循环的条件就是当前进位不为 0。具体步骤是：

先计算 无进位和 ：x = a ^ b。
再计算进位：y = (a & b) << 1。
然后，将 x 作为新的 a，y 作为新的 b，重复上述过程，直到 y 为 0。

最终，x 就是两数之和。

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int getSum(int a, int b) 
    {
        int sum1 = 0;
        int sum2 = 0;
        while(b)
        {
            sum1 = a ^ b;
            sum2 = (a & b) << 1;
            a = sum1;
            b = sum2;
        }
        return a ^ b;
    }
};

四.代码讲解

一、初始化变量

我们定义两个变量 sum1 和 sum2，用于在循环中暂存中间结果。其中 sum1 用于存储无进位相加的结果 ，sum2 用于存储进位值 。初始时，a 和 b 分别为输入的两个整数。

二、循环处理进位

使用 while(b) 循环，条件是 b 不为 0。这是因为 b 代表当前的进位值，只要还有进位，就需要继续计算。在循环内部，执行以下三步：

计算无进位和 ：sum1 = a ^ b 异或运算模拟了二进制加法中不考虑进位的部分。对于每一位，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（因为进位被分离出去），这正是异或的特性。
计算进位值 ：sum2 = (a & b) << 1 与运算 a & b 得到哪些位同时为 1，这些位需要产生进位。然后将结果左移一位，因为进位要加到更高一位上。例如，最低位都是 1，进位应该加到第二位，所以左移一位。
更新 a 和 b ：将 sum1 赋给 a，sum2 赋给 b。这样，下一轮循环中，a 代表当前的无进位和，b 代表新的进位。如果还有进位，则继续循环；否则 b 变为 0，循环结束。

三、循环结束后的处理

当 b 为 0 时，表示已经没有进位，此时 a 中存储的就是最终的和。

四、关键细节

异或与进位的分离：通过异或和与运算，将加法拆解为无进位和与进位两部分，这是位运算模拟加法的核心思想。
循环的必要性：进位可能产生连锁反应（如 999+1），需要循环处理直到进位为 0。
终止条件 ：当 b 为 0 时，说明没有进位，此时 a 即为结果。