多边形的对角线（Diagonal）是一个非常基础且重要的几何概念，它连接了多边形内部的特定顶点。
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1. 基本定义
对角线 是连接一个多边形中不相邻 （或不相邻边）的两个顶点的线段。
简单来说，对角线是从一个顶点出发，连接到除该顶点本身以及与该顶点直接相邻的两个顶点之外的任何其他顶点的线段。
2. 关键点解析
- 必须连接顶点: 对角线必须是连接多边形本身的两个顶点。
- 不能是边: 连接相邻顶点的线段是多边形的边（Side），而不是对角线。
- 位于内部（凸多边形）: 对于凸多边形（Convex Polygon），所有对角线都完全位于多边形的内部。
- 可能位于外部（凹多边形）: 对于凹多边形（Concave Polygon），某些对角线可能会穿过多边形的外部区域。
3. 对角线的数量计算公式
对于一个具有 n 个顶点的多边形（n 边形），其对角线的总数量可以通过以下公式精确计算：
公式：n*(n-3)/2
公式推导逻辑：
- 从一个顶点出发: 在一个 n 边形中，从任意一个顶点出发，可以引出 n−1 条线段。
- 排除非对角线: 这 n−1 条线段中，有 2 条连接到相邻顶点（即边），所以从一个顶点能引出 n−3 条对角线。
- 避免重复计数: 由于连接顶点 A 到 B 的对角线与连接 B 到 A 的对角线是同一条线段，我们需要将总数除以 2。
因此，总对角线数量为： n×(n−3)÷2。
4、示例
已知 n > 3，求 n 边凸多边形的对角线数量。根据维基百科的定义，在几何学中，对角线是连接多边形或多面体两个顶点的线段，且这两个顶点不在同一条边上。通俗地说，任何倾斜的直线都称为对角线。
例如：
输入：5
输出：5
解释：五条可能的对角线是：AC、AD、BD、BE、CE
对于一个 n 边凸多边形，从每个顶点出发，我们可以画出 n-3 条对角线，每个顶点都与两个相邻顶点相连。按照这种方法，对于 n 个顶点，总共会有 n*(n-3) 条对角线。但是，由于每条对角线需要计算两次，所以对角线的总数变为 n*(n-3)/2。
以下是上述公式的代码：
// C# function to find number of diagonals
// in n sided convex polygon
using System;
class GFG {
static int numberOfDiagonals(int n)
{
return n * (n - 3) / 2;
}
// driver code to test above function
public static void Main()
{
int n = 5;
Console.Write(n + " sided convex polygon have ");
Console.WriteLine(numberOfDiagonals(n) +
" diagonals");
}
}
// This code is contributed by Sam007
输出 ：
5 sided convex polygon have 5 diagonals (五边形凸多边形有5条对角线)
时间复杂度： O(1)
辅助空间： O(1)
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