求导 y = f(x) = x^2

求导 y=f(x)=x2y = f(x) = x^2y=f(x)=x2

对于函数 y=f(x)=x2y = f(x) = x^2y=f(x)=x2，其导数 ∂y∂x=2x\frac{\partial y}{\partial x} = 2x∂x∂y=2x可以通过导数的定义或基本求导法则得到：

• 导数定义 ：
  ∂y∂x=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0(x+h)2−x2h=lim⁡h→0x2+2xh+h2−x2h=lim⁡h→0(2x+h)=2x. \frac{\partial y}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x. ∂x∂y=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh(x+h)2−x2=h→0limhx2+2xh+h2−x2=h→0lim(2x+h)=2x.

• 幂函数求导法则 ：对于 f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn，有 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}dxdxn=nxn−1，代入 n=2n = 2n=2 即得 2x1=2x2x^{1} = 2x2x1=2x。

根据微积分中的幂法则，对于任意实数 nnn，有 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}dxdxn=nxn−1。当 n=2n=2n=2 时，即得 ∂y∂x=2x\frac{\partial y}{\partial x} = 2x∂x∂y=2x。

因此， y=f(x)=x2y = f(x) = x^2y=f(x)=x2 局部导数为 2x2x2x。