C++中关于数学的一些语法回忆（2）

蓝桥杯 / 算法竞赛数学部分常用 C++ 语法速查表

一、基础数学运算

1. 绝对值

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abs(x)     // 整数绝对值
fabs(x)    // 浮点数绝对值

例子：

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cout << abs(-7) << '\n';      // 7
cout << fabs(-3.14) << '\n';  // 3.14

2. 最大值、最小值

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max(a, b)
min(a, b)

多个数：

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max({a, b, c})
min({a, b, c})

3. 交换

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swap(a, b);

4. 平方、立方

竞赛里推荐直接写：

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x * x
x * x * x

不要太依赖：

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pow(x, 2)
pow(x, 3)

因为 pow 返回浮点数，整数题容易出精度问题。

二、开方、幂、对数

1. 开平方

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sqrt(x)

例子：

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double d = sqrt(25.0);   // 5

2. 幂函数

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pow(a, b)

表示 (a^b)

例子：

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cout << pow(2, 10) << '\n';   // 1024

但整数题里更推荐快速幂。

3. 对数函数

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log(x)     // 自然对数 ln(x)
log10(x)   // 常用对数
log2(x)    // 以2为底

例子：

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cout << log2(8) << '\n';   // 3

三、取整相关

1. 向下取整

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floor(x)

例子：

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floor(3.9)   // 3
floor(-3.9)  // -4

2. 向上取整

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ceil(x)

例子：

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ceil(3.1)    // 4
ceil(-3.1)   // -3

3. 四舍五入

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round(x)

例子：

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round(3.6)   // 4
round(3.4)   // 3

4. 正数四舍五入常见写法

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(long long)(x + 0.5)

只适合 x >= 0。

四、三角函数与几何常用

1. 三角函数

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sin(x)
cos(x)
tan(x)

注意：参数必须是弧度。

2. 反三角函数

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asin(x)
acos(x)
atan(x)

3. 求极角最重要：`atan2`

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atan2(y, x)

作用：求点 (x, y) 相对原点的方向角。

它比 atan(y / x) 更稳，因为：

能判断象限
不怕除 0
几何题标准写法

4. π 的写法

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const double PI = acos(-1.0);

5. 角度转弧度

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double rad = deg * PI / 180.0;

6. 弧度转角度

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double deg = rad * 180.0 / PI;

五、整除、取模、余数

1. 整数除法

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a / b

如果 a、b 都是整数，那么结果仍是整数。

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7 / 3 = 2

2. 取模

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a % b

例子：

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7 % 3 = 1

3. 保证模结果非负

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((a % mod) + mod) % mod

这个在数论题里很常见。

六、最大公约数、最小公倍数

1. `gcd`

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gcd(a, b)

C++17 可直接用。

2. `lcm`

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lcm(a, b)

或者手写：

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a / gcd(a, b) * b

注意先除后乘，防止溢出。

3. 手写 gcd

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long long gcd_ll(long long a, long long b) {
    return b ? gcd_ll(b, a % b) : a;
}

七、快速幂

这个非常高频。

1. 普通快速幂

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long long qpow(long long a, long long b) {
    long long res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res *= a;
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

2. 模意义快速幂

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long long qpow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1 % mod;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = res = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

上面这段有误，正确写法应是：

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long long qpow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1 % mod;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

这个你最好背下来。

八、质数相关

1. 判断质数

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bool isPrime(long long n) {
    if (n < 2) return false;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

更稳一点写：

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for (long long i = 2; i <= n / i; i++)

避免 i * i 溢出。

2. 埃氏筛

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const int N = 1000000;
bool is_prime[N + 1];

void sieve() {
    fill(is_prime, is_prime + N + 1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= N; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= N; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
}

九、组合数学常用

1. 阶乘

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long long fact(int n) {
    long long res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res *= i;
    return res;
}

2. 组合数

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long long C(int n, int k) {
    if (k < 0 || k > n) return 0;
    if (k > n - k) k = n - k;
    long long res = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        res = res * (n - i + 1) / i;
    }
    return res;
}

十、精度控制

1. 固定小数位输出

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cout << fixed << setprecision(6) << x << '\n';

需要：

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#include <iomanip>

2. 浮点数判等

不要直接写：

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if (a == b)

应该写：

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const double eps = 1e-9;
if (fabs(a - b) < eps)

3. 判断大小

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if (a < b - eps)
if (a > b + eps)

十一、常见位运算里的数学用法

1. 判断奇偶

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x & 1

2. 除以 2

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x >> 1

3. 乘以 2

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x << 1

4. 判断第 k 位是不是 1

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(x >> k) & 1

十二、竞赛里很常见的"防溢出写法"

1. 乘法转 long long

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1LL * a * b

这个你一定要熟。

例如：

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long long area = 1LL * w * h;

2. 判断平方时小心溢出

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for (long long i = 1; i <= n / i; i++)

比

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i * i <= n

更稳。

十三、随机数

1. 常见竞赛随机数

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mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

生成区间随机数：

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uniform_int_distribution<int> dist(1, 100);
cout << dist(rng) << '\n';

十四、常见数学模板

1. gcd + lcm

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long long gcd_ll(long long a, long long b) {
    return b ? gcd_ll(b, a % b) : a;
}

long long lcm_ll(long long a, long long b) {
    return a / gcd_ll(a, b) * b;
}

2. 快速幂

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long long qpow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1 % mod;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

3. 判断完全平方数

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bool isSquare(long long x) {
    long long r = sqrt(x);
    return r * r == x || (r + 1) * (r + 1) == x;
}

十五、你最该优先背的高频语法

这一部分最重要，刷题最常用。

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sqrt(x)
abs(x)
fabs(x)
max(a, b)
min(a, b)
gcd(a, b)
lcm(a, b)
floor(x)
ceil(x)
round(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
atan(x)
atan2(y, x)
pow(a, b)

以及这些固定写法：

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const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
1LL * a * b
cout << fixed << setprecision(6);

十六、最容易考到也最容易错的点

1. `pow` 不适合做整数精确运算

例如：

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pow(2, 50)

可能有精度误差。

2. `atan2(y, x)` 顺序别写反

是先 y，后 x。

3. 三角函数参数是弧度，不是角度

4. `3 / 2 == 1`

如果要 1.5，必须写：

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3.0 / 2

5. 浮点数比较别用 `==`

6. 组合数、阶乘很容易爆 `long long`

范围一大就不能直接算。

十七、给你一个可直接背的竞赛数学模板

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const long long INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

long long gcd_ll(long long a, long long b) {
    return b ? gcd_ll(b, a % b) : a;
}

long long lcm_ll(long long a, long long b) {
    return a / gcd_ll(a, b) * b;
}

long long qpow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1 % mod;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

bool isPrime(long long n) {
    if (n < 2) return false;
    for (long long i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

bool isSquare(long long x) {
    long long r = sqrt(x);
    return r * r == x || (r + 1) * (r + 1) == x;
}

int main() {
    double x = PI;
    cout << fixed << setprecision(6) << x << '\n';
    return 0;
}

十八、你现阶段建议怎么记

你现在不用一次全背，先分三层：

第一层先背：

sqrt
abs/fabs
max/min
gcd/lcm
floor/ceil/round
atan2
1LL * a * b
fixed << setprecision

第二层再背：

快速幂
质数判断
筛法
组合数

第三层再补：

对数
随机数
浮点误差处理
几何角度换算

C++中关于数学的一些语法回忆（2）

蓝桥杯 / 算法竞赛数学部分常用 C++ 语法速查表

一、基础数学运算

1. 绝对值

2. 最大值、最小值

3. 交换

4. 平方、立方

二、开方、幂、对数

1. 开平方

2. 幂函数

3. 对数函数

三、取整相关

1. 向下取整

2. 向上取整

3. 四舍五入

4. 正数四舍五入常见写法

四、三角函数与几何常用

1. 三角函数

2. 反三角函数

3. 求极角最重要：atan2

4. π 的写法

5. 角度转弧度

6. 弧度转角度

五、整除、取模、余数

1. 整数除法

2. 取模

3. 保证模结果非负

六、最大公约数、最小公倍数

1. gcd

2. lcm

3. 手写 gcd

七、快速幂

1. 普通快速幂

2. 模意义快速幂

八、质数相关

1. 判断质数

2. 埃氏筛

九、组合数学常用

1. 阶乘

2. 组合数

十、精度控制

1. 固定小数位输出

2. 浮点数判等

3. 判断大小

十一、常见位运算里的数学用法

1. 判断奇偶

2. 除以 2

3. 乘以 2

4. 判断第 k 位是不是 1

十二、竞赛里很常见的"防溢出写法"

1. 乘法转 long long

2. 判断平方时小心溢出

十三、随机数

1. 常见竞赛随机数

十四、常见数学模板

1. gcd + lcm

2. 快速幂

3. 判断完全平方数

十五、你最该优先背的高频语法

十六、最容易考到也最容易错的点

1. pow 不适合做整数精确运算

2. atan2(y, x) 顺序别写反

3. 三角函数参数是弧度，不是角度

4. 3 / 2 == 1

5. 浮点数比较别用 ==

6. 组合数、阶乘很容易爆 long long

十七、给你一个可直接背的竞赛数学模板

十八、你现阶段建议怎么记

3. 求极角最重要：`atan2`

1. `gcd`

2. `lcm`

1. `pow` 不适合做整数精确运算

2. `atan2(y, x)` 顺序别写反

4. `3 / 2 == 1`

5. 浮点数比较别用 `==`

6. 组合数、阶乘很容易爆 `long long`