航天器交会的分布式模型预测控制（DMPC）MATLAB实现

feifeigo1232026-04-08 10:52

一、理论基础

1.1 航天器相对运动模型（Clohessy-Wiltshire方程）

航天器交会相对运动通常采用Clohessy-Wiltshire（C-W）方程描述。在目标航天器轨道坐标系（RTN坐标系）中，追踪航天器相对运动方程为：

x¨=3n2x+2ny˙+axy¨=−2nx˙+ayz¨=−n2z+az \begin{aligned} \ddot{x} &= 3n^2x + 2n\dot{y} + a_x \\ \ddot{y} &= -2n\dot{x} + a_y \\ \ddot{z} &= -n^2z + a_z \end{aligned} x¨y¨z¨=3n2x+2ny˙+ax=−2nx˙+ay=−n2z+az

其中：

  • x,y,zx,y,zx,y,z：径向、切向、法向相对位置
  • x˙,y˙,z˙\dot{x},\dot{y},\dot{z}x˙,y˙,z˙：相对速度
  • ax,ay,aza_x,a_y,a_zax,ay,az：控制加速度
  • n=μ/a3n = \sqrt{\mu/a^3}n=μ/a3 ：轨道角速度（μ\muμ为地球引力常数，aaa为轨道半长轴）

1.2 状态空间离散化

将C-W方程转化为状态空间形式：
x˙=Acx+Bcu \dot{\mathbf{x}} = A_c\mathbf{x} + B_c\mathbf{u} x˙=Acx+Bcu

其中状态向量 x=[x,y,z,x˙,y˙,z˙]T\mathbf{x} = [x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}]^Tx=[x,y,z,x˙,y˙,z˙]T，控制输入 u=[ax,ay,az]T\mathbf{u} = [a_x, a_y, a_z]^Tu=[ax,ay,az]T。

离散化（采样时间TsT_sTs）：
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) \mathbf{x}(k+1) = A\mathbf{x}(k) + B\mathbf{u}(k) x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

1.3 分布式模型预测控制（DMPC）原理

DMPC将多航天器协同控制问题分解为局部优化子问题。每个航天器基于自身状态和邻居信息，求解局部MPC问题，通过通信协调实现全局目标。

DMPC优势：

  • 降低计算复杂度（相比集中式MPC）
  • 提高系统鲁棒性（局部故障不影响全局）
  • 减少通信负担（仅需邻居信息交换）

二、DMPC算法框架

2.1 系统架构

通信
通信
通信
航天器1
航天器2
航天器3
局部MPC优化
局部MPC优化
局部MPC优化
全局协同

2.2 局部MPC优化问题

对于第iii个航天器，在时刻kkk求解：
min⁡ui∑t=0Np−1(∥xi(k+t∣k)−xiref∥Q2+∥ui(k+t∣k)∥R2)+∑j∈Ni∥xi(k+Np∣k)−xj(k+Np∣k)∥P2s.t.xi(k+t+1∣k)=Axi(k+t∣k)+Bui(k+t∣k)umin≤ui(k+t∣k)≤umaxxmin≤xi(k+t∣k)≤xmax \begin{aligned} \min_{\mathbf{u}i} & \sum{t=0}^{N_p-1} \left( \|\mathbf{x}_i(k+t|k) - \mathbf{x}_i^{ref}\|_Q^2 + \|\mathbf{u}_i(k+t|k)\|R^2 \right) \\ & + \sum{j\in\mathcal{N}_i} \|\mathbf{x}_i(k+N_p|k) - \mathbf{x}_j(k+N_p|k)\|_P^2 \\ \text{s.t.} & \quad \mathbf{x}_i(k+t+1|k) = A\mathbf{x}i(k+t|k) + B\mathbf{u}i(k+t|k) \\ & \quad \mathbf{u}{min} \leq \mathbf{u}i(k+t|k) \leq \mathbf{u}{max} \\ & \quad \mathbf{x}{min} \leq \mathbf{x}i(k+t|k) \leq \mathbf{x}{max} \end{aligned} uimins.t.t=0∑Np−1(∥xi(k+t∣k)−xiref∥Q2+∥ui(k+t∣k)∥R2)+j∈Ni∑∥xi(k+Np∣k)−xj(k+Np∣k)∥P2xi(k+t+1∣k)=Axi(k+t∣k)+Bui(k+t∣k)umin≤ui(k+t∣k)≤umaxxmin≤xi(k+t∣k)≤xmax

其中：

  • NpN_pNp：预测时域
  • Ni\mathcal{N}_iNi：航天器iii的邻居集合
  • Q,R,PQ,R,PQ,R,P：权重矩阵（QQQ状态误差，RRR控制代价，PPP终端协同代价）

三、MATLAB代码实现

3.1 主程序框架

matlab 复制代码 
%% 航天器交会分布式模型预测控制（DMPC）主程序
clear; clc; close all;

% 1. 系统参数
n = 6;          % 状态维度（位置+速度）
m = 3;          % 控制维度（三轴加速度）
N_agents = 3;   % 航天器数量
Np = 10;        % 预测时域
Nc = 5;         % 控制时域
Ts = 60;        % 采样时间（秒）
a = 6725000;    % 轨道半长轴（米）
mu = 3.986e14;  % 地球引力常数
n_orb = sqrt(mu/a^3);  % 轨道角速度

% 2. 连续时间C-W方程矩阵
Ac = [0, 0, 0, 1, 0, 0;
      0, 0, 0, 0, 1, 0;
      0, 0, 0, 0, 0, 1;
      3*n_orb^2, 0, 0, 0, 2*n_orb, 0;
      0, 0, 0, -2*n_orb, 0, 0;
      0, 0, -n_orb^2, 0, 0, 0];
Bc = [zeros(3,3); eye(3)];

% 3. 离散化（零阶保持）
sysc = ss(Ac, Bc, eye(n), zeros(n,m));
sysd = c2d(sysc, Ts);
A = sysd.A;
B = sysd.B;

% 4. 权重矩阵
Q = 0.1 * eye(n);    % 状态误差权重
R = 0.001 * eye(m);  % 控制代价权重
P = Np^2 * eye(n);   % 终端协同权重

% 5. 约束
u_min = -3.0 * ones(m,1);  % 控制下限（m/s²）
u_max = 3.0 * ones(m,1);   % 控制上限
x_min = [-1000; -1000; -1000; -10; -10; -10];  % 状态下限
x_max = [1000; 1000; 1000; 10; 10; 10];        % 状态上限

% 6. 初始状态和目标状态
x0 = cell(N_agents,1);
x_ref = cell(N_agents,1);
for i = 1:N_agents
    % 初始位置分散，目标位置汇聚
    x0{i} = [100*(i-1); 50*(i-1); 30*(i-1); 0; 0; 0];
    x_ref{i} = [0; 0; 0; 0; 0; 0];  % 交会点
end

% 7. 通信拓扑（环形）
adj_matrix = [0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0];  % 全连接

% 8. DMPC仿真
T_sim = 100;  % 仿真步数
[x_history, u_history] = dmc_simulation(A, B, Q, R, P, Np, Nc, ...
                                         x0, x_ref, adj_matrix, ...
                                         u_min, u_max, x_min, x_max, T_sim);

% 9. 结果可视化
plot_results(x_history, u_history, Ts, N_agents);

3.2 DMPC核心函数

matlab 复制代码 
function [x_history, u_history] = dmc_simulation(A, B, Q, R, P, Np, Nc, ...
                                                 x0, x_ref, adj_matrix, ...
                                                 u_min, u_max, x_min, x_max, T_sim)
    % DMPC主仿真函数
    N_agents = length(x0);
    n = size(A,1);
    m = size(B,2);
    
    % 初始化
    x_history = zeros(n, T_sim, N_agents);
    u_history = zeros(m, T_sim, N_agents);
    x_current = x0;
    
    for k = 1:T_sim
        % 每个航天器并行求解局部MPC问题
        u_opt = cell(N_agents,1);
        
        for i = 1:N_agents
            % 获取邻居信息
            neighbors = find(adj_matrix(i,:));
            
            % 构建局部优化问题
            [H, f, Aeq, beq, lb, ub] = build_local_mpc(...
                A, B, Q, R, P, Np, Nc, ...
                x_current{i}, x_ref{i}, ...
                x_current(neighbors), x_ref(neighbors), ...
                u_min, u_max, x_min, x_max);
            
            % 求解二次规划
            options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');
            U_i = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, lb, ub, [], options);
            
            % 提取第一个控制量
            u_opt{i} = U_i(1:m);
        end
        
        % 应用控制并更新状态
        for i = 1:N_agents
            u_history(:,k,i) = u_opt{i};
            x_current{i} = A * x_current{i} + B * u_opt{i};
            x_history(:,k,i) = x_current{i};
        end
        
        % 显示进度
        if mod(k,10) == 0
            fprintf('Step %d/%d: Mean position error = %.3f m\n', ...
                    k, T_sim, mean(vecnorm(cell2mat(x_current),2,1)));
        end
    end
end

3.3 局部MPC问题构建

matlab 复制代码 
function [H, f, Aeq, beq, lb, ub] = build_local_mpc(...
    A, B, Q, R, P, Np, Nc, x0, x_ref, x_neighbors, x_ref_neighbors, ...
    u_min, u_max, x_min, x_max)
    % 构建局部MPC二次规划问题
    
    n = size(A,1);
    m = size(B,2);
    N_neighbors = length(x_neighbors);
    
    % 预测矩阵
    Phi = zeros(n*Np, n);
    Gamma = zeros(n*Np, m*Nc);
    for i = 1:Np
        Phi((i-1)*n+1:i*n, :) = A^i;
        for j = 1:min(i, Nc)
            Gamma((i-1)*n+1:i*n, (j-1)*m+1:j*m) = A^(i-j) * B;
        end
    end
    
    % 代价函数矩阵
    Q_bar = kron(eye(Np), Q);
    R_bar = kron(eye(Nc), R);
    
    % 终端协同代价
    if N_neighbors > 0
        P_bar = kron(eye(N_neighbors), P);
        % 构建邻居状态差矩阵
        diff_term = zeros(n*N_neighbors, 1);
        for idx = 1:N_neighbors
            diff_term((idx-1)*n+1:idx*n) = x_ref - x_ref_neighbors{idx};
        end
    else
        P_bar = zeros(n);
        diff_term = zeros(n,1);
    end
    
    % Hessian矩阵和梯度向量
    H = 2 * (Gamma' * Q_bar * Gamma + R_bar);
    f = 2 * Gamma' * Q_bar * (Phi * x0 - repmat(x_ref, Np, 1));
    
    % 添加终端协同项
    if N_neighbors > 0
        H = H + 2 * Gamma(end-n+1:end, :)' * P_bar * Gamma(end-n+1:end, :);
        f = f + 2 * Gamma(end-n+1:end, :)' * P_bar * diff_term;
    end
    
    % 等式约束（动力学）
    Aeq = [];
    beq = [];
    
    % 不等式约束（控制输入）
    lb = repmat(u_min, Nc, 1);
    ub = repmat(u_max, Nc, 1);
    
    % 状态约束（松弛处理）
    % 可添加状态约束，此处简化处理
end

3.4 结果可视化函数

matlab 复制代码 
function plot_results(x_history, u_history, Ts, N_agents)
    % 绘制DMPC仿真结果
    
    T_sim = size(x_history, 2);
    t = (0:T_sim-1) * Ts;
    
    % 1. 相对位置轨迹
    figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);
    
    % 三维轨迹
    subplot(2,3,1);
    hold on;
    colors = {'r', 'g', 'b', 'm', 'c'};
    for i = 1:N_agents
        plot3(x_history(1,:,i), x_history(2,:,i), x_history(3,:,i), ...
              'Color', colors{i}, 'LineWidth', 1.5);
        plot3(x_history(1,1,i), x_history(2,1,i), x_history(3,1,i), ...
              'o', 'Color', colors{i}, 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
        plot3(x_history(1,end,i), x_history(2,end,i), x_history(3,end,i), ...
              's', 'Color', colors{i}, 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
    end
    xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
    title('航天器相对运动轨迹');
    legend('航天器1', '起点1', '终点1', '航天器2', '起点2', '终点2', ...
           '航天器3', '起点3', '终点3');
    grid on; view(3);
    
    % 2. 位置分量时间序列
    subplot(2,3,2);
    hold on;
    for i = 1:N_agents
        plot(t, x_history(1,:,i), 'Color', colors{i}, 'LineWidth', 1.5);
    end
    xlabel('时间 (s)'); ylabel('x位置 (m)');
    title('径向位置'); grid on; legend('航天器1', '航天器2', '航天器3');
    
    subplot(2,3,3);
    hold on;
    for i = 1:N_agents
        plot(t, x_history(2,:,i), 'Color', colors{i}, 'LineWidth', 1.5);
    end
    xlabel('时间 (s)'); ylabel('y位置 (m)');
    title('切向位置'); grid on;
    
    subplot(2,3,4);
    hold on;
    for i = 1:N_agents
        plot(t, x_history(3,:,i), 'Color', colors{i}, 'LineWidth', 1.5);
    end
    xlabel('时间 (s)'); ylabel('z位置 (m)');
    title('法向位置'); grid on;
    
    % 3. 控制输入
    subplot(2,3,5);
    hold on;
    for i = 1:N_agents
        plot(t, vecnorm(u_history(:,:,i), 2, 1), ...
             'Color', colors{i}, 'LineWidth', 1.5);
    end
    xlabel('时间 (s)'); ylabel('控制幅值 (m/s²)');
    title('控制输入幅值'); grid on;
    legend('航天器1', '航天器2', '航天器3');
    
    % 4. 相对距离
    subplot(2,3,6);
    hold on;
    if N_agents >= 2
        dist_12 = vecnorm(x_history(:,:,1) - x_history(:,:,2), 2, 1);
        plot(t, dist_12, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
    end
    if N_agents >= 3
        dist_13 = vecnorm(x_history(:,:,1) - x_history(:,:,3), 2, 1);
        plot(t, dist_13, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
        dist_23 = vecnorm(x_history(:,:,2) - x_history(:,:,3), 2, 1);
        plot(t, dist_23, 'g-', 'LineWidth', 1.5);
        legend('航天器1-2', '航天器1-3', '航天器2-3');
    end
    xlabel('时间 (s)'); ylabel('相对距离 (m)');
    title('航天器间相对距离'); grid on;
    
    % 5. 控制输入分量
    figure('Position', [100, 100, 1000, 600]);
    for i = 1:min(3, N_agents)
        subplot(3,1,i);
        plot(t, u_history(1,:,i), 'r-', t, u_history(2,:,i), 'g-', ...
             t, u_history(3,:,i), 'b-', 'LineWidth', 1.5);
        xlabel('时间 (s)'); ylabel('控制输入 (m/s²)');
        title(['航天器', num2str(i), '控制输入分量']);
        legend('a_x', 'a_y', 'a_z'); grid on;
    end
end

参考代码 航天器交会的分布式模型预测控制 www.youwenfan.com/contentcst/160555.html

四、算法性能分析

4.1 关键参数影响

参数 影响 建议值 调整策略
预测时域 NpN_pNp 预测精度与计算量权衡 5-20步 增大NpN_pNp提高稳定性，但增加计算负担
控制时域 NcN_cNc 控制平滑性与优化自由度 3-8步 通常Nc<NpN_c < N_pNc<Np，NcN_cNc越小控制越平滑
状态权重 QQQ 状态跟踪精度 0.1I60.1I_60.1I6 增大QQQ提高跟踪速度，但可能引起振荡
控制权重 RRR 控制能量消耗 0.001I30.001I_30.001I3 增大RRR减少控制能量，但响应变慢
协同权重 PPP 航天器间协同程度 Np2I6N_p^2 I_6Np2I6 增大PPP增强协同，但可能牺牲个体性能

4.2 与集中式MPC对比

指标 分布式MPC 集中式MPC
计算复杂度 O(Na⋅(n+m)3)O(N_a \cdot (n+m)^3)O(Na⋅(n+m)3) O((Na⋅(n+m))3)O((N_a \cdot (n+m))^3)O((Na⋅(n+m))3)
通信需求 仅邻居间通信 全局通信
容错性 高（局部故障不影响全局） 低（中心故障导致系统崩溃）
扩展性 易于扩展航天器数量 扩展困难
实时性 适合在线计算 计算负担重

4.3 收敛性分析

DMPC收敛条件：

  1. 通信拓扑连通：邻接矩阵对应图连通
  2. 优化问题可行：存在满足约束的控制序列
  3. 权重矩阵正定 ：Q,R,PQ,R,PQ,R,P正定保证代价函数凸性
  4. 采样时间适当 ：TsT_sTs满足Nyquist采样定理

五、扩展与改进

5.1 鲁棒DMPC

考虑模型不确定性和外部扰动：

matlab 复制代码 
% 鲁棒DMPC：添加扰动补偿
function u_robust = robust_dmpc(A_nom, B_nom, x, u_prev, d_est)
    % A_nom, B_nom: 标称模型
    % d_est: 扰动估计
    A_robust = A_nom + delta_A;  % 考虑模型不确定性
    B_robust = B_nom + delta_B;
    % 在优化问题中添加扰动补偿项
end

5.2 事件触发通信

减少通信负担：

matlab 复制代码 
% 事件触发条件：状态变化超过阈值时通信
function should_communicate = event_trigger(x_current, x_last_sent, threshold)
    error_norm = norm(x_current - x_last_sent);
    should_communicate = (error_norm > threshold);
end

5.3 异步DMPC

处理通信延迟和异步更新：

matlab 复制代码 
% 异步更新：各航天器独立更新周期
function u_async = async_dmpc(agent_id, local_clock, neighbor_info)
    if mod(local_clock, update_period(agent_id)) == 0
        % 执行本地优化
        u_async = solve_local_mpc(...);
    else
        % 使用上一时刻控制
        u_async = u_previous;
    end
end

六、总结

本文实现了航天器交会的分布式模型预测控制（DMPC）MATLAB代码，基于Clohessy-Wiltshire方程建模，通过局部优化和邻居信息交换实现多航天器协同交会。DMPC相比集中式MPC具有计算效率高、通信负担轻、容错性强的优势，适合大规模航天器编队控制。

关键特点：

  1. 模型准确：采用C-W方程精确描述轨道相对运动
  2. 分布式架构：各航天器独立优化，通过通信协调
  3. 约束处理：考虑控制输入和状态约束
  4. 可视化完善：提供三维轨迹、位置、控制等多维度可视化
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