【递归、搜索与回溯算法】专题三——穷举vs暴搜vs深搜vs回溯vs剪枝

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一、全排列
二、子集

一、全排列

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给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

示例 1：

输入：nums = $1,2,3$

输出： $\[1,2,3$ , $1,3,2$ , $2,1,3$ , $2,3,1$ , $3,1,2$ , $3,2,1$ ]

解题思路

n=nums.length。这题最先想到的就是搞n层循环，每个循环固定一个数字，但如果n==100呢？难道要手写100层循环吗？
本题要介绍全排列的一种很好的解法：使用递归代替循环。也就是字面意思，用递归代替每一层循环，每层递归中进行枚举出某个数位上的数字，当在一层递归中每固定一个数字就进行下一数位的枚举（也就是进入下一层递归），直到进行一次完整的全排列，此时回溯，回到上一层递归（也就是少上一数位）将这个数位的数换一个（这个时候肯定要进行"恢复现场"），继续重复往下一位枚举。

全排列问题的枚举推导过程是可以画成上面这种"决策树"的，所以就很适合使用递归算法了解题，由"决策树"--->递归算法，这种思路要熟记，下一题也是这样的。

代码实现及解析

java 复制代码

class Solution {
    List<List<Integer>> ret;
    List<Integer> path;//记录每次更新的排列数（相当于二叉树中的每个路径）
    boolean[] used;//记录已经枚举过的数字
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        ret=new ArrayList<>();
        path=new ArrayList<>();
        int n=nums.length;
        used=new boolean[n];
        dfs(nums);
        return ret;
    }
    void dfs(int[] nums){
        //递归出口：
        if(path.size()==nums.length){//path的每一位都确定了枚举的数字，可以return了
            ret.add(new ArrayList<>(path));//注意这里add的一定是path的副本
            return;
        }
        
        //path的位数还不够，继续枚举下一位
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            if(!used[i]){
                path.add(nums[i]);//添加上这一位数字
                used[i]=true;
                dfs(nums);//上面add已经固定了一位数字，继续尝试枚举下一位数字

                path.remove(path.size()-1);//这里是dfs回溯之后会执行到这里，要删除一位数，换一个数字add上（要进入下一层for循环，换个数进行固定）
                used[i]=false;//不要忘了删除这一位数后要将其的状态更改
            }
        }
    }
}

总结

复习解题思路和代码实现及解析
可以看到在本题中，ret.add()操作添加的是path的副本，千万不可以将path直接添加进去，不然ret中储存的就都是同一个引用，path在后续还会不断进行更改，会造成严重的错误，这是多路径问题非常常见的一个易错点，不要不在乎。而且就算是没有像本题一样使用全局变量，而是进行了传参，但如果参数是引用类型，依然可能会存在上述所指出的问题，所以在多路径问题、使用全局变量这样的场景中必须重视这个问题

二、子集

Leetcode链接

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素互不相同。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。你可以按任意顺序返回解集。

示例 1：

输入：nums = $1,2,3$

输出： $\[$ , $1$ , $2$ , $1,2$ , $3$ , $1,3$ , $2,3$ , $1,2,3$ ]

解题思路

方法一：

对于【子集问题】我们可以对每个元素进行"留或不留"的决策，这是对于找子集问题的特点（包含不包含？不考虑排列）而推导出的方法。

遍历每个元素，对其进行选与不选的决定，画出决策图（"×1"代表不选1，"√1"代表选1）：

可以看到每次对数组所有元素都进行了决策之后就会得到一个结果

方法二：

第二种方法就是对于子集问题的结果我们可以发现其结果可以分类：不含有元素的（空集）、只包含1个元素的、包含两个元素的...
所以我们可以分组进行处理，0元素的、有一个元素的... ，但是代码实现不是想当然地写的，我们可以在dfs中用for循环对每个元素进行遍历，这样来做出不同的选择，但每固定一个数（pos位置）仍需要直接进入下一位数（pos+1）的dfs，而且dfs中的for循环是从形参pos开始的，不然会导致子集重复。这样我们发现每次进入dfs其实都是一个结果，所以方法二的效率是比方法一高的。

决策图：

代码实现及解析

方法一：

java 复制代码

//解法一：
class Solution1 {
    List<List<Integer>> ret;
    List<Integer> path;
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        ret=new ArrayList<>();
        path=new ArrayList<>();

        dfs(nums,0);//从0下标开始遍历，对每个位置进行选择
        return ret;
    }
    public void dfs(int[] nums,int pos){
        //递归出口：遍历到了最后，也就是对每个位置都进行了"留与不留"的选择，得到了一个完整子集
        if(pos==nums.length){
            ret.add(new ArrayList<>(path));//再次强调要拷贝path的副本
            return;
        }

        //不选nums[pos]:
        dfs(nums,pos+1);

        //选nums[pos]:
        path.add(nums[pos]);
        dfs(nums,pos+1);
        //从上面这一句dfs出来后就要恢复现场：
        path.remove(path.size()-1);
    }
}

方法二：

java 复制代码

//解法二：
class Solution {
    List<List<Integer>> ret;
    List<Integer> path;
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        ret=new ArrayList<>();
        path=new ArrayList<>();
        dfs(nums,0);
        return ret;
    }
    void dfs(int[] nums,int pos){
        ret.add(new ArrayList<>(path));//每次dfs都是一个结果
        if(pos==nums.length) return;//递归出口

        /*这层dfs表示要对该数位上的数字进行选择，我们有多种选择，所以用for循环，
          但是i一定要从pos位置开始，不然就会导致子集重复（pos代表前面遍历到的位置）
        */
        for(int i=pos;i<nums.length;i++){
            path.add(nums[i]);//加上这一位数

            dfs(nums,i+1);//直接选择下一位数
            path.remove(path.size()-1);//从上面这个dfs出来，就要删除一位数，进入下一个for循环重新选择
        }
    }
}

总结

复习解题思路和代码注释来回忆代码实现框架
决策树的概念、能推导出决策树的题目都可以这样使用递归算法来解题