[4. x 的平方根](#4. x 的平方根)
1.二分查找
二分查找算法在刚接触计算机语言就会了解的。在C语言阶段讲过二分查找题目。
相当于复习，这里简单回顾一下
二分查找适用于序列有序时，或者存在某种规律时，可利用单调性，利用二分法求解。
二分法就是把序列从中间分成两段。中间的分割点也是数学期望最高的地方。
中间点求法也很简单，（ right + left ）/ 2 ，就能求得中间点。
也可以是：（ right + left + 1 ）/ 2 。
这两个对于大部分题目没什么区别，当数据量为奇数，因为整型int向下取整，所以没有区别（奇数有一个中间点，相当于在其基础上 + 0.5，向下取整还是中心点）
对于偶数，由于有两个中心点，1式求出的有小数 .5 ，介于两点之间，int取整是第一个中心点。加上1后，相当于 + 0.5 ,取整变成第二个中心点。因为都是中心点，所以无所谓。
由于right + left 存在数据溢出的风险，为防止数据溢出：left + （ right - left ）/ 2 .
也可以：left + （ right - left + 1 ）/ 2
核心思路如下：
时间复杂度为logN，这个复杂度是极其优秀的。
二分查找算法题的简单模板：
2.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
这题和上一题思路基本相同 ，但是细节处理，代码完全不同 ，需要返回两个不同位置的相同值。
思路就是利用二段性，二分查找来解题。
解法：
先查找左端点，将区间分为两段：
判断条件：
x < t : 和普通二分查找模板一样，left = mid + 1 ，因为说明 x 落在左侧区间，左侧区间不可能出结果，所以left 需要去mid 右侧。
x >= t : x在>= t区间，是可能出结果的，说明mid有可能是结果，因此right不可能去mid - 1，应该去mid
循环条件：
left == right 是找到结果了，或者说没有结果，不需要再循环，而是出循环判断结果。
如果还是进入循环，就会持续进入判断条件 x >= t ，导致right = mid无限循环，right一直不动，就left == right，死循环。
求中点：
求左端点，必须用第一种方式。
如果是第二种，当数据量是偶数就会取到第二个为中点，假设此时mid所指的就是 t ，也会陷入死循环。
left == right 后，出循环要判断 x == t 这个条件，如果左端点找不到，那就是没有此 t ，返回{-1，-1}，如果有就用插入进数组ret，left和right都行，毕竟一样。
上面只是左端点，下面是右端点，细节不同：两个区间的取值也有区别。
找右端点，那就要把右端点作为区分隔离开，于是左侧就是 x <= t,右侧是x > t
左区间可能出结果，所以left不能超过mid。右区间出不了结果，可以去mid - 1
求中点：
这次求右端点，假设size == 2，如果求出左区间的中点就会进入x <= t，导致left = mid一直不动，死循环
这种求区间的题，模板如下：
3.搜索插入位置
这题需要用上题提供的左右边界模板来写。
如果找到 t ，就返回 t 下标。找不到，就返回 t 值插入的顺序位置。
例子： 【1 3 5 6】 t = 2 ，没有 t 值，返回插入顺序位置，return 1 （1 2 3 5 6 ， 2 在 索引 1）
下面提供左右区间的写法。
为什么最后要判断 < ？ 因为已经找到区间边界，左区间版本 <= t，右区间版本 >= t 、
左区间x <= t：如果相等，就直接返回left，不相等必定x < t ，说明没有数组 target 值，需要向后移动一位，那是插入的位置。
右区间x >= t：解释一样。
判断条件不能是 ！= :
不等于 就 插后面，这个逻辑是错的。如果是大于，需要插后面，小于或者等于就插入当前位置。 不等于把 三种情况合并成两种，是错误的。
4.x 的平方根
这题没给数组，但是0 - x就是天然的数组区间，并且平方是单调性的，这题可以使用二分查找解题
题目说了：8的算术平方根是 2.8，但是要向下取整，答案是 2 ，因为3*3是9，反而大于8，那么这题就需要分两个区间:
1.左区间 ： <= x 的区间，平方后不能大于 x ，那就找<= x 的区间，出循环后，left在左区间的最右端点，此时的left * left严格满足 <= x ，再往右移一次都不符合，这就是答案
2.右区间：就是 else分支，> x 的区域。
如果反过来，要求右区间的最左边端点，那就要考虑情况：
因为right * right >= x ，最左端点可能是答案，且只能是相等，需要判断相等，如果是，就返回right。如果不是相等，那右区间是所有大于x的可能，再往左移一次就是答案，返回right - 1.
5.山脉数组的峰顶索引
这题题目比较难懂，上面的一串表达式表达的就是：峰顶不可能是最左或者最右。
所以 left 和 right 可以跳过最左最右，因为不可能出结果，这是小优化。
这题数据看似没规律，但是山峰左侧是递增的，山峰右侧是递减的，由此可以分为两段区间，利用二段性，二分查找算法解决问题：
左区间：严格满足递增，当前的比前一个。那可知：左区间端点，一定是山峰，所以left不能出左区间，left最大更新到mid
右区间：严格满足递减，不会出现山峰，要去左区间，所以要去 mid 左边
6.寻找峰值
左右边界都是无穷小，说明：从左开始必定是升，最后必定是降，那中间上升必有峰
既然存在二段性，必然能找到临界的峰值，那就可以用左右边界的二分查找算法
找左区间峰值：利用上升必有峰，找一直上升的(i < i+1)，必然会找到。left最多更新到mid，right更新mid - 1，跑去左区间。
找右区间峰值：反向利用上升必有峰，找一直下降的（i - 1 > i），必然会找到峰值。同理。
7.寻找旋转排序数组中的最小值
旋转数组：每旋转一次，最后一个位置的数据就旋转至第一个位置，题目中有解析
注意：升序数组，且无重复值
如图是旋转3次后的数组，根据升序的定义，我们可以画出他的折线图，发现他明显有二段线，可以使用二分查找算法解决
我们选择数组末尾值作为参照物x ( nums[ right ] ) 。
左区间： mid > x：说明在AB区间（假设AB区间在左），那要求出最小值C，就需要去CD区间，left = mid + 1
右区间： mid <= x：说明在CD区间（假设CD在右），C就在本区间，不能离开，right = mid
给我自己：为什么要用 x 参考值 ？
1、如果没旋转，最大值，只会匹配 mid <= x ,无限循环直到在 0 位置相遇，跳出循环得到正确答案，
2、如果数组旋转了，右值一定不是最大值，我们定义左区间是AB，那AB区间一定会大于 x ，假设旋转一次，AB区间就一个值：最大值（旋转一次，最大值在0位置，x是次最大值，AB区间只有为最大值才能存在。），然后右区间边界就会一直缩小，和1一样，直到得出答案。
从正确性来看，这是对的。另外，不能以为条件是这样，区间就该这样，实际上这不是条件，这是一个要求，要求必须能找到AB，CD区间，并且在CD区间能找到最小值C
不能把条件代入单个例子看待，因为数组不一样，区间也不一样，左右区间也只是要求的，预设的，完全可以要求右边是AB区间，左边是CD区间。
样例是帮助理解，核心逻辑是抽象的概念
8.点名
学号顺序是0 - n-1，这正好对应了下标，即nums【mid】== mid ，如果不是，说明缺少了一个学号，那就很简单能找出来。
解法很多种，可以哈希表映射，暴力枚举等，时间复杂度 N
最优解法二分查找：
首先明确二段性：可以设左边一段是nums【mid】== mid ，下标与值对应。当第一个不等于，那后面的由于单调性都要少1，都不等于，这就是这道题的二段性，一段键值相等，一段不相等。
由此得出二分查找解法，预设右区间是不合法，左区间合法：
left ： nums【mid】== mid，此时在合法区间，需要left = mid + 1，使left移出合法区间，去寻找第一个不合法的位置。
right ：nums【mid】!= mid，此时mid在不合法区间，但是mid是不合法位置可能是答案，所以right不可以移出mid左侧，right = mid（就算这个不是答案，由于left右移，使mid减小，mid还是会向左移动，收缩，最终找到答案）
右区间边界判断：
最后，左区间可能是全部数据，也就是全都合法，也会出结果，那需要判断一下：
如果 right == nums【right】说明找到的不是缺席号数，并且区间到结尾了还没找到，那不合法数字只能是当前位置的下一个，返回right + 1
左区间边界判断，规则相反：
左区间都是合法，最终结果是返回left + 1，会包含上面的情况。但是如果只有一个[ 1 ]，区间是合法的。但是会返回left + 1，导致结果是1，错误！（答案是 0 ），因为左区间取区间右边，包含了上面的右边界判断。但是不取左边，少了上面的判断左边界！！少了的情况只可能是少 0
二分查找边界判断终极思路：
右区间写法（答案在左边界），缺少右边界判断，左区间写法（答案在右边界），缺少左边界！
