经典算法详解：最长公共子序列 (LCS) —— 从暴力递归到动态规划完整实现

在算法学习中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS） 是动态规划领域最经典的问题之一。它不仅能帮我们理解 DP 思想，还广泛应用于字符串相似度对比、DNA 基因序列匹配、文本对比等实际场景。

本文将基于你写的 C++ 代码，从暴力递归 → 记忆化递归 → 非递归动态规划 → 打印序列，一步步拆解思路、解析代码，带你彻底吃透 LCS！

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一、什么是最长公共子序列？

先明确两个核心概念：

• 子序列（Subsequence）：不需要连续，但顺序保持不变
• 公共子序列：两个字符串都存在的子序列
• 最长公共子序列：长度最长的那一个

示例：

• X = {#, A,B,C,B,D,A,B}
• Y = {#, B,D,C,A,B,A}
• LCS 结果 ：B C B A 或 B D A B，长度 = 4

分析图解：

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二、解法 1：纯暴力递归（会重复计算，效率极低）

这是最直观的递归思路，但存在大量重复子问题，计算量爆炸。

代码实现

// 最长公共子序列 ------ 暴力递归
int num = 0; // 统计递归调用次数
int LCSLength(const char* X, const char* Y, int i, int j)
{
	num += 1;
	// 递归出口：任意一个字符串遍历完
	if (i == 0 || j == 0)
	{
		return 0;
	}
	// 字符相等：LCS 长度 +1，同时向前递归
	else if (X[i] == Y[j])
	{
		return LCSLength(X, Y, i - 1, j - 1) + 1;
	}
	// 字符不等：取两种情况的最大值（删 X 最后一个 或 删 Y 最后一个）
	else
	{
		int t1 = LCSLength(X, Y, i - 1, j);
		int t2 = LCSLength(X, Y, i, j - 1);
		return t1 > t2 ? t1 : t2;
	}
}

代码解析

1. 出口条件 ：i==0 或 j==0，LCS 长度为 0
2. 字符相等 ：X[i] == Y[j]
   • 说明当前字符属于 LCS
   • 结果 = 左上角子问题 + 1
3. 字符不等 ：
   • 结果 = max (去掉 X 当前字符，去掉 Y 当前字符)
4. 缺点 ：
   • 大量重复递归
   • 时间复杂度：指数级 O (2ⁿ)
   • 稍微长一点的字符串就会卡死

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三、解法 2：记忆化递归（带备忘录，避免重复计算）

暴力递归效率太低，我们用二维数组 c 存储已经计算过的结果，避免重复递归。

同时增加 s 数组 ，用来记录路径，方便后面打印 LCS。

核心思路

• c[i][j]：存储 X[0~i] 和 Y[0~j] 的 LCS 长度
• s[i][j]：记录路径标记
  • 1 = 来自左上角（字符相等）
  • 2 = 来自上方
  • 3 = 来自左方

代码实现

int num = 0;
int LCSLength(const char* X, const char* Y, int i, int j,
			  std::vector<std::vector<int>>& c,
			  std::vector<std::vector<int>>& s)
{
	num += 1;
	if (i == 0 || j == 0)
		return 0;
	
	// 已经计算过，直接返回（备忘录核心）
	if (c[i][j] > 0)
		return c[i][j];

	if (X[i] == Y[j])
	{
		c[i][j] = LCSLength(X, Y, i - 1, j - 1, c, s) + 1;
		s[i][j] = 1; // 标记：来自左上角
	}
	else
	{
		int t1 = LCSLength(X, Y, i - 1, j, c, s);
		int t2 = LCSLength(X, Y, i, j - 1, c, s);
		if (t1 > t2)
		{
			c[i][j] = t1;
			s[i][j] = 2; // 来自上方
		}
		else
		{
			c[i][j] = t2;
			s[i][j] = 3; // 来自左方
		}
	}
	return c[i][j];
}

代码解析

• c 数组：缓存结果，避免重复递归
• s 数组：记录每一步的来源方向
• 效率大幅提升：时间复杂度 O (mn)

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四、解法 3：非递归动态规划（标准最优解）

这是工业级标准写法 ，用双层循环填充 DP 表，效率最高、最稳定。

核心 DP 公式

if(X[i] == Y[j])
	c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
else
	c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])

代码实现

int NiceLCSLength(const char* X, const char* Y, int xm, int yn,
	std::vector<std::vector<int>>& c, std::vector<std::vector<int>>& s)
{
	for (int i = 1; i <= xm; ++i)  // 遍历 X
	{
		for (int j = 1; j <= yn; ++j) // 遍历 Y
		{
			if (X[i] == Y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				s[i][j] = 1;
			}
			else
			{
				if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1])
				{
					c[i][j] = c[i - 1][j];
					s[i][j] = 2;
				}
				else
				{
					c[i][j] = c[i][j - 1];
					s[i][j] = 3;
				}
			}
		}
		Print2Vec(c); // 打印 DP 表
	}
	return c[xm][yn];
}

代码解析

• 从 i=1,j=1 开始逐行逐列填表
• 字符相等 → 左上角 +1
• 不等 → 取 max (上，左)
• 最终答案：c[xm][yn]

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五、功能：打印最长公共子序列

根据 s 数组的路径标记，递归回溯输出 LCS。

void LCS(const char* X, int i, int j, const std::vector<std::vector<int>>& s)
{
	if (i == 0 || j == 0)
		return;

	// 1 = 来自左上角，字符属于 LCS
	if (s[i][j] == 1)
	{
		LCS(X, i - 1, j - 1, s);
		printf("%5c", X[i]);
	}
	// 2 = 来自上方
	else if (s[i][j] == 2)
	{
		LCS(X, i - 1, j, s);
	}
	// 3 = 来自左方
	else
	{
		LCS(X, i, j - 1, s);
	}
}

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六、测试主函数 + 打印 DP 表

void Print2Vec(const std::vector<std::vector<int>>& c)
{
	int yn = c[0].size();
	int xm = c.size();
	printf("    ");
	for (int i = 0; i < yn; ++i)
		printf("%5d", i);
	printf("\n");
	for (int i = 0; i < xm; ++i)
	{
		printf("%3d ", i);
		for (int j = 0; j < yn; ++j)
			printf("%5d", c[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n---------------------------\n");
}

int main()
{
	const int xm = 7;
	const int yn = 6;
	char X[xm + 1] = { '#','A','B','C','B','D','A','B' };
	char Y[yn + 1] = { '#','B','D','C','A','B','A' };

	// 创建 DP 表和路径表
	std::vector<std::vector<int>> c(xm + 1, std::vector<int>(yn + 1, 0));
	std::vector<std::vector<int>> s(xm + 1, std::vector<int>(yn + 1, 0));

	// 非递归 DP（最优）
	int maxlen = NiceLCSLength(X, Y, xm, yn, c, s);
	cout << "最长公共子序列长度：" << maxlen << endl;

	// 打印序列
	printf("最长公共子序列：");
	LCS(X, xm, yn, s);
	return 0;
}

运行结果

最长公共子序列长度：4
最长公共子序列：    B    C    B    A

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七、三种方法对比总结

方法	时间复杂度	空间复杂度	特点
暴力递归	O(2ⁿ)	O(m+n)	思路简单，效率极低
记忆化递归	O(mn)	O(mn)	避免重复计算
非递归 DP	O(mn)	O(mn)	最优解，推荐使用

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八、文章总结

1. LCS 是动态规划经典模板题，必须掌握
2. 核心思想：
   • 相等 → 左上角 +1
   • 不等 → max (上，左)
3. c 数组存长度，s 数组存路径
4. 标准最优解：非递归 DP，时间 O (mn)，空间 O (mn)
5. 可用于：字符串匹配、基因比对、diff 工具

本文代码均可直接编译运行，非常适合 DP 初学者学习～