本文涉及知识点
第一节 定积分的元素法
比较容易理解，不赘述。
第二节 定积分在几何上的应用
一 平面图形的面积
有时求和y轴围成的面积更容易。
二 旋转体的体积
例8 ：计算由摆线 x = a ( t − sin t ) , y = a ( 1 − cos t ) x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t) x=a(t−sint),y=a(1−cost)相应于 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t \le 2\pi 0≤t≤2π的一拱直线与直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。
解 按旋转体体积公式，沿x轴旋转而成的旋转提的体积为：
V x = ∫ 0 2 π a π y 2 ( x ) d x = ∫ 0 2 π π a 2 ( 1 − cos t ) 2 a ( 1 − cos t ) d t V_x=\int_0^{2\pi a}\pi y^2(x)dx=\int_0^{2\pi}\pi a^2(1-\cos t)^2a(1-\cos t)dt Vx=∫02πaπy2(x)dx=∫02ππa2(1−cost)2a(1−cost)dt
= π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t ) d t =\pi a^3 \int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3 t)dt =πa3∫02π(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt
= π a 3 ( t − 3 sin t ) ∣ 0 2 π + 3 π a 3 ∫ 0 2 π cos 2 t d t − π a 2 ∫ 0 2 π cos 2 t d ( sin t ) =\pi a^3(t-3\sin t)|_0^{2\pi}+3\pi a^3\int_0^{2\pi}\cos^2 t dt-\pi a^2\int_0^{2\pi}\cos^2td(\sin t) =πa3(t−3sint)∣02π+3πa3∫02πcos2tdt−πa2∫02πcos2td(sint)
第二项积分部分= ∫ 0 2 π 1 + cos 2 t 2 d t \int_0^{2\pi}\frac{1+\cos 2t}2 dt ∫02π21+cos2tdt 倍角公式
= t 2 ∣ 0 2 π + ∫ 0 2 π cos 2 t 4 d ( 2 t ) =\frac {t} 2|_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi}\frac{\cos 2t}{4}d(2t) =2t∣02π+∫02π4cos2td(2t)
= π + 1 4 ( sin 4 π − sin 0 ) =\pi+\frac 1 4 (\sin 4\pi-\sin 0) =π+41(sin4π−sin0)
= π =\pi =π
第三项积分部分= ∫ 0 2 π ( 1 − s i n 2 t ) d ( sin t ) \int_0^{2\pi}(1-sin^2t)d(\sin t) ∫02π(1−sin2t)d(sint)
sin t ∣ 0 2 π − sin 3 t 3 ∣ 0 2 π \sin t|_0^{2\pi}-\frac {\sin^3 t}3|_0^{2\pi} sint∣02π−3sin3t∣02π
= 0 0 0
原式= π a 3 2 π + 3 π a 3 π \pi a^3 2\pi + 3\pi a^3 \pi πa32π+3πa3π
= 5 π 2 a 3 5\pi^2 a^3 5π2a3
解 沿y轴旋转的体积为V2-V1，V2是OABC绕y轴旋转的体积，V1是OBC绕y轴旋转的体积：
V2= ∫ 0 2 a π x 2 ( y ) d y = ∫ 2 π π π a 2 ( t − sin t ) 2 ( a sin t d t ) \int_0^{2a}\pi x^2(y)dy=\int_{2\pi}^{\pi}\pi a^2(t-\sin t)^2(a\sin tdt) ∫02aπx2(y)dy=∫2πππa2(t−sint)2(asintdt)
令f(t)= π a 2 ( t − sin t ) 2 ( a sin t d t ) \pi a^2(t-\sin t)^2(a\sin tdt) πa2(t−sint)2(asintdt)
V2-V1= ∫ 2 π π f ( t ) − ∫ 0 π f ( t ) = − ∫ 0 2 π f ( t ) \int_{2\pi}^{\pi}f(t)-\int_0^{\pi}f(t)=-\int_0^{2\pi}f(t) ∫2ππf(t)−∫0πf(t)=−∫02πf(t)
= π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin t ) 2 sin t d t \pi a^3\int_0^{2\pi}(t-\sin t)^2\sin tdt πa3∫02π(t−sint)2sintdt
( t − sin t ) 2 sin t = ( t 2 − 2 t sin t + s i n 2 t ) sin t = t 2 sin t − 2 t sin 2 t + sin 3 t (t-\sin t)^2\sin t=(t^2-2t\sin t+sin^2 t)\sin t =t^2\sin t-2t\sin^2t+\sin^3t (t−sint)2sint=(t2−2tsint+sin2t)sint=t2sint−2tsin2t+sin3t
原式= π a 3 ∫ 0 2 π t 2 sin t d t − π a 3 ∫ 0 2 π 2 t sin 2 t d t + π a 3 ∫ 0 2 π sin 3 t d t \pi a^3\int_0^{2\pi}t^2\sin t dt- \pi a^3\int_0^{2\pi}2t\sin^2t dt+\pi a^3\int_0^{2\pi}\sin^3 tdt πa3∫02πt2sintdt−πa3∫02π2tsin2tdt+πa3∫02πsin3tdt
第一项微分表达式= ∫ 0 2 π t 2 d ( − cos t ) \int_0^{2\pi}t^2d(-\cos t) ∫02πt2d(−cost)
= t 2 ( − cos t ) ∣ 0 2 π − ∫ 0 2 π − cos t d ( t 2 ) t\^2(-\\cos t)|_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}-\cos t d(t^2) t2(−cost)∣02π−∫02π−costd(t2)分部积分法
= − 4 π 2 + ∫ 0 2 π 2 t cos t d t -4\pi^2+\int_0^{2\pi}2t\cos tdt −4π2+∫02π2tcostdt
= ∫ 0 2 π 2 t d ( sin t ) − 4 π 2 \int_0^{2\pi}2td(\sin t)-4\pi^2 ∫02π2td(sint)−4π2
= 2 t sin t 0 2 π − 2 ∫ 0 2 π sin t d t − 4 π 2 2t\\sin t_0^{2\pi}-2\int_0^{2\pi}\sin tdt-4\pi^2 2tsint02π−2∫02πsintdt−4π2
2 cos t 0 2 π − 4 π 2 2\\cos t_0^{2\pi}-4\pi^2 2cost02π−4π2
= − 4 π 2 -4\pi^2 −4π2
第二项微积分表达式= 2 π 2 2\pi^2 2π2
第三项微积分表达式= 0 0 0
原式= − 6 π 3 a 3 -6\pi^3a^3 −6π3a3
我们求得是体积，不是有向体积，故答案是 6 π 3 a 3 6\pi^3a^3 6π3a3
例9 ：一平面经过半径为R得圆柱体得低圆中心，并与底面交成角 α \alpha α,计算这个平面截圆柱体所得立体得体积。
解 取这平面与圆柱体底面得的交线为x轴，底面上经过圆心，且垂直于x轴的直线为y轴。那么底圆的方程为 x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x2+y2=R2。立体中经过x轴上的x点垂直于x轴的截面是一个直角三角形。它的两条直角边为 y 和 y tan α ，其中 y = R 2 − x 2 y和y\tan\alpha，其中y=\sqrt{R^2-x^2} y和ytanα，其中y=R2−x2 。故截面的面积为A(x)= 1 2 ( R 2 − x 2 ) tan α \frac 1 2 (R^2-x^2)\tan \alpha 21(R2−x2)tanα，故其体积为：
∫ − R R 1 2 ( R 2 − x 2 ) tan x d x \int_{-R}^R\frac 1 2(R^2-x^2)\tan xdx ∫−RR21(R2−x2)tanxdx
= tan α 2 R 2 x − x 3 3 ∣ − R R \frac{\tan \alpha}2R\^2x-\\frac {x\^3}3|_{-R}^R 2tanαR2x−3x3∣−RR
= tan α R 3 3 − ( − tan α R 3 3 ) \frac {\tan\alpha R3}3-(-\frac {\tan\alpha R3}3) 3tanαR3−(−3tanαR3)
= 2 3 R 3 tan α \frac 2 3R^3\tan\alpha 32R3tanα
三 平面弧长
设曲线弧由参数方程
{ x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) \begin{cases} x=\phi(t), \\ y=\psi(t) \end{cases}(\alpha \le t\le \beta) {x=ϕ(t),y=ψ(t)(α≤t≤β)
其中 ϕ ( t ) , ψ ( t ) 在 α , β 上具有连续导数，且 ϕ ′ ( t ) , ψ ′ ( t ) 不同时为 0 \phi(t),\psi(t)在\\alpha,\\beta上具有连续导数，且\phi'(t),\psi'(t)不同时为0 ϕ(t),ψ(t)在α,β上具有连续导数，且ϕ′(t),ψ′(t)不同时为0。
弧长公式为 s = ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi'2(t)+\psi'^2(t)}dt s=∫αβϕ′2(t)+ψ′2(t) dt
如果可以直接用显式函数 表示为：y=f(x)则
s = ∫ a b 1 + f ′ 2 ( x ) d x s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}dx s=∫ab1+f′2(x) dx
当曲线弧由极坐标方程 ρ = ρ ( θ ) , ( α ≤ θ ≤ β ) \rho=\rho(\theta),(\alpha \le \theta \le \beta) ρ=ρ(θ),(α≤θ≤β)
s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta s=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ) dθ
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
