本文涉及知识点
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概率
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量)，如果位移、速度、加速度、力矩等。以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 A B ⃗ \vec {AB} AB 。在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量)，即只考虑大小和方向，不考虑起点。
向量a 和向量b 相等即a=b，两者大小相等、方向相同。也就是经过平移后完全重合的矢量相等。
向量的大小叫向量的模，向量 A B ⃗ \vec{AB} AB 的模记作 ∣ A B ⃗ ∣ |\vec{AB}| ∣AB ∣。模等于1的向量是单位向量，模等于0的向量叫做零向量，记作 0 ⃗ \vec 0 0 ，起点和终点重合，方向任意。
设两个非零向量a ,b ，任取空间一点O，做 O A ⃗ = a , O B ⃗ = b ，规定不超过 π 的 ∠ A O B \vec {OA}=a,\vec{OB}=b，规定不超过\pi的\angle AOB OA =a,OB =b，规定不超过π的∠AOB称为向量a 与b 的夹角。如果向量a 或b 中有一个是零向量，规定它们的夹角可以是0到 π \pi π的任意之。 ∠ ( a ⃗ , b ⃗ ) \angle(\vec a,\vec b) ∠(a ,b )等于0或 π \pi π，两者平行，记作 a ∥ b a \parallel b a∥b；两者的夹角 π 2 , 两者垂直 a ⊥ b \frac {\pi} 2,两者垂直a\perp b 2π,两者垂直a⊥b。
二，向量的线性运算
1，向量的加法
各分量相加。下图是向量相加的三角型法则。
平行四边形法则
向量的加法复合一下运算规律：
交换律:a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2.向量和数的乘法
向量a与实数 λ 的乘积记作 λ a \lambda的乘积记作\lambda a λ的乘积记作λa，它是一个向量，它的模为 ∣ λ ∣ ∣ a ∣ |\lambda||a| ∣λ∣∣a∣
如果 λ > 0 \lambda>0 λ>0,矢量和a的方向相同；如果 λ < 0 \lambda<0 λ<0，矢量和a的方向相反。
⟺ λ 和各分量相乘 \iff \lambda和各分量相乘 ⟺λ和各分量相乘
结合律 ： λ ( μ a ) = μ ( λ a ) = ( λ μ ) a \lambda(\mu a)=\mu(\lambda a)=(\lambda \mu)a λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a
分配律 ： ( λ + μ ) a = λ a + μ a (\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a (λ+μ)a=λa+μa
λ ( a + b ) = λ a + λ b \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b λ(a+b)=λa+λb
定理1 设向量 a ≠ 0 a \neq 0 a=0，则向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一实数 λ \lambda λ，使得 b = λ a b=\lambda a b=λa
空间直角坐标系
在空间任取一点O和三个两两垂直的单位向量i,j,k ，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴)、y轴(纵轴)，z轴(竖轴)，统称坐标轴。它们的正向往往复合右手定则：
右手握住z轴，右手的4指从x轴正方向以 π 2 \frac {\pi} 2 2π角度指向y轴正方向时，大拇指指向z轴正方向。
坐标系被分成：8个卦限
在空间直角坐标系中，卦限的定义是：
第一卦限： x > 0 , y > 0 , z > 0 x>0,\ y>0,\ z>0 x>0, y>0, z>0
第二卦限： x < 0 , y > 0 , z > 0 x<0,\ y>0,\ z>0 x<0, y>0, z>0
第三卦限： x < 0 , y < 0 , z > 0 x<0,\ y<0,\ z>0 x<0, y<0, z>0
第四卦限： x > 0 , y < 0 , z > 0 x>0,\ y<0,\ z>0 x>0, y<0, z>0
第五卦限： x > 0 , y > 0 , z < 0 x>0,\ y>0,\ z<0 x>0, y>0, z<0
第六卦限： x < 0 , y > 0 , z < 0 x<0,\ y>0,\ z<0 x<0, y>0, z<0
第七卦限： x < 0 , y < 0 , z < 0 x<0,\ y<0,\ z<0 x<0, y<0, z<0
第八卦限： x > 0 , y < 0 , z < 0 x>0,\ y<0,\ z<0 x>0, y<0, z<0
第一到第四卦限，z>0，xy和第一到第四象限同。
第五到第八卦限，z<0,xy和第一到第四象限同。
五 向量的模、方向角、投影
向量 O M ⃗ = r ( x , y , z ) \vec {OM}=r(x,y,z) OM =r(x,y,z)
cos α = x ∣ r ∣ \cos \alpha=\frac x {|r|} cosα=∣r∣x
cos β = y ∣ r ∣ \cos \beta=\frac y {|r|} cosβ=∣r∣y
cos γ = z ∣ r ∣ \cos \gamma=\frac z {|r|} cosγ=∣r∣z
过M做垂线于x轴的平面，此平面和x轴相较于P。 P M ⊥ O P , ∣ O P ∣ = ∣ x ∣ PM \perp OP,|OP|=|x| PM⊥OP,∣OP∣=∣x∣
向量r 在u轴上的投影，记作 P r j u r Prj_ur Prjur或(r ) u _u u
性质一 ： P r j u a = ∣ a ∣ c o s ϕ Prj_ua=|a|cos \phi Prjua=∣a∣cosϕ
性质二 ： P r j u ( a + b ) = P r j u a + P r j u b Prj_u(a+b)=Prj_ua+Prj_ub Prju(a+b)=Prjua+Prjub
性质三 ： P r j u ( λ a ) = λ P r j u a Prj_u(\lambda a)=\lambda Prj_u a Prju(λa)=λPrjua
第二节 数量积、向量积
混合积是选修内容，暂且放放。
数量积（点乘)=|F||S| cos θ \cos \theta cosθ, θ \theta θ是夹角。点乘的典型应用是物理中的做功。
向量 a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a ,b 垂直，则点乘为0。
代数含义： a ⃗ . b ⃗ = a x . b x + a y . b y + a z b z \vec a.\vec b=a_x.b_x+a_y.b_y+a_zb_z a .b =ax.bx+ay.by+azbz
交换律 ： a ⃗ . b ⃗ = b ⃗ . a ⃗ \vec a.\vec b=\vec b . \vec a a .b =b .a
分配律 ： ( a ⃗ + b ⃗ ) . c ⃗ = a ⃗ . c ⃗ + b ⃗ . c ⃗ (\vec a+\vec b).\vec c=\vec a.\vec c+\vec b.\vec c (a +b ).c =a .c +b .c
左式= ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) . c ⃗ = ( a x + b x ) c x + ( a y + b y ) c y + ( a z + b z ) c z (a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z).\vec c=(a_x+b_x)c_x+(a_y+b_y)c_y+(a_z+b_z)c_z (ax+bx,ay+by,az+bz).c =(ax+bx)cx+(ay+by)cy+(az+bz)cz
右式= a x c x + a y c y + a z c z + b x c x + b y c y + b z c z a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z+b_xc_x+b_yc_y+b_zc_z axcx+aycy+azcz+bxcx+bycy+bzcz
即两者相等。
结合律 ： ( λ a ) b = λ ( a b ) (\lambda a)b=\lambda (ab) (λa)b=λ(ab)
代数形式的证明：令 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 是x,y,z轴的单位向量。 i . j , i . k , j . k = 0 , i . i , j . j , k . k = 1 i.j,i.k,j.k=0,i.i,j.j,k.k=1 i.j,i.k,j.k=0,i.i,j.j,k.k=1。
( a x i + a y j + a z k ) ( b x i + b y j + b z k ) (a_x i+a_y j +a_z k)(b_x i + b_y j + b_z k) (axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)
= a x b x i i + a y j b y j + a z k b z k a_x b_x i i + a_y j b_y j +a_z k b_z k axbxii+ayjbyj+azkbzk
= a x b x + a y b y + a z b z a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z axbx+ayby+azbz
向量积 （叉乘)：令 c ⃗ = a ⃗ × b ⃗ \vec c=\vec a \times \vec b c =a ×b
|c|=|a||b| sin θ , θ 是夹角 \sin \theta,\theta是夹角 sinθ,θ是夹角,方向遵守右手定理。
典型应用：力矩。
几何含义：平行四边形的有向面积。
非0向量a,b， a ⃗ × b ⃗ = 0 → a , b 平行 \vec a \times \vec b=0 \to a,b平行 a ×b =0→a,b平行即同向或反向。
叉乘如何以下运算规则：
a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a a ×b =−b ×a
分配律 ： ( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ (\vec a+\vec b)\times \vec c=\vec a\times \vec c+\vec b \times \vec c (a +b )×c =a ×c +b ×c
结合律 ： ( λ a ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) (\lambda a)\times b=a\times(\lambda b)=\lambda(a\times b) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)
代数形式：令 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 是x,y,z的单位向量。则 i ⃗ × i ⃗ = j ⃗ × j ⃗ = k ⃗ × k ⃗ = 0 \vec i \times \vec i=\vec j \times \vec j=\vec k \times \vec k=0 i ×i =j ×j =k ×k =0
i ⃗ × j ⃗ = k ⃗ , k ⃗ × i ⃗ = j ⃗ , j ⃗ × k ⃗ = i ⃗ \vec i \times \vec j=\vec k,\vec k \times \vec i=\vec j,\vec j \times \vec k=\vec i i ×j =k ,k ×i =j ,j ×k =i
( a x i + a y j + a z k ) × ( b x i + b y j + b z k ) (a_x i+ a_y j +a_z k)\times (b_x i +b_y j +b_z k) (axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)
= a x b y i j + a x b z i k + a y b x j i + a y b z j k + a z b x k i + a z b y k j a_x b_y ij+a_x b_z ik + a_yb_x ji+a_yb_z jk+a_zb_xki+a_zb_ykj axbyij+axbzik+aybxji+aybzjk+azbxki+azbykj
= ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) (a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) (aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)
可以用三阶行列式帮助记忆。
第三节 平面及方程
一，曲面及曲面方程的概念
曲线S和F(x,y,z)=0 （3-1 ）有如下关系：
（1），曲面上任意一点的坐标都满足方程3-1。
（2）,不在曲线上的任意一点的坐标都不满足方程3-1。
则方程3-1叫曲面S的方程，曲面S叫做方程3-1的图形。
曲线可以看成令个曲面S1,S2的交线。
二，平面的点法式方程
非令向量垂直于一平面，这个向量就叫改平面的法向量。平面上一点M0,任意法向量n，则平面可以用 n . M 0 M ⃗ = 0 n.\vec{M_0M}=0 n.M0M =0表示，M是平面任意一点。
点法式可以很方便的转化成平面的一般形式。
三，平面的一般方程
Ax+By_Cz+D=0，法向量为 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)。
A=0，则法向量垂直于x轴。
D=0，平面经过于原点。
A=0,B=0，则平面垂直于z轴。
如果 D ≠ 0 D\neq 0 D=0，一般式左右除以 − D -D −D，所得为：
x a + y b + z c = 1 \frac x a + \frac y b +\frac z c=1 ax+by+cz=1 平面的截距式方程。
四，两平面的夹角
两平面的法向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角。令两个平面的法线为：A,B。则：
cos θ = A . B ∣ A ∣ ∣ B ∣ \cos \theta=\frac{A.B}{|A||B|} cosθ=∣A∣∣B∣A.B
例7 ：设 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求 P 0 P_0 P0到平面的距离。
过 P 0 P_0 P0做平面的垂线，垂线和平面相较于N。平面任意一点 P 1 , P 0 ≠ P 1 ，令 θ = ∠ P 0 P 1 N P_1,P_0 \neq P_1，令\theta=\angle P_0P_1N P1,P0=P1，令θ=∠P0P1N。几何法和代数法求得点乘应该相等。
∣ P 0 P 1 ∣ ∣ P 0 N ∣ cos θ = P 0 P 1 ⃗ ⋅ P 0 N ⃗ |P_0P_1||P0N|\cos\theta=\vec{P0P1}\cdot \vec{P0N} ∣P0P1∣∣P0N∣cosθ=P0P1 ⋅P0N
P 0 N ⃗ = λ n , n = ( A , B , C ) \vec{P0N}=\lambda n,n=(A,B,C) P0N =λn,n=(A,B,C)和法向量方向相同。
∣ P 0 P 1 ∣ cos θ = P 0 P 1 ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ n ∣ |P_0P_1|\cos \theta=\frac{\vec{P_0P_1}\cdot\vec n}{|n|} ∣P0P1∣cosθ=∣n∣P0P1 ⋅n
= A ( x 1 − x 0 ) + B ( y 1 − y 0 ) + C ( z 1 − z 0 ) A 2 + B 2 + C 2 =\frac{A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} =A2+B2+C2 A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)
(x0,x1,x2)在平面上：故 − A x 0 − B y 0 − C z 0 = D -Ax_0-By_0-Cz_0=D −Ax0−By0−Cz0=D
= A x 1 + B y 1 + C z 1 + D A 2 + B 2 + C 2 \frac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} A2+B2+C2 Ax1+By1+Cz1+D
求得是有向距离，距离取绝对值。
第四节 空间直线及其方程
一，空间直线及其方程
两个平面得交线，可以用方程组表示：
{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0
二，空间直线得对称式方程与参数方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫这条直线的方向向量。
直线L上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，任意方向向量 s = ( m , n , p ) M_0(x_0,y_0,z_0)，任意方向向量s=(m,n,p) M0(x0,y0,z0)，任意方向向量s=(m,n,p)，则直线方程可以表示为：
x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}p mx−x0=ny−y0=pz−z0 对称式（点法式)
{ x = m t + x 0 y = n t + y 0 z = p t + z 0 参数方程 \begin{cases} x=mt+x_0\\ y=nt+y_0\\ z=pt+z_0\\ \end{cases}参数方程 ⎩ ⎨ ⎧x=mt+x0y=nt+y0z=pt+z0参数方程
如果m,n,p有一个或两个为0，参数方程无需特殊处理，对称式需要特殊处理。
如果m=0，则
{ x = x 0 y − y 0 n = z − z 0 p \begin{cases} x=x_0\\ \frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}{p} \end{cases} {x=x0ny−y0=pz−z0
如果m=n=0，则：
{ x = x 0 y = y 0 \begin{cases} x=x_0\\ y=y_0 \end{cases} {x=x0y=y0
体会一 ：某直线的任意点的z分量都不为0，则此直线垂直于z轴。
体会二：某直线一定存在点的x分量或y分量或z分量为0，以为不存在直线同时垂直于x,y,z轴。
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角)叫做两直线的夹角。
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π 2 ) \phi(0\le \phi \le\frac {\pi}2) ϕ(0≤ϕ≤2π)。当直线与平面垂直时，夹角为 π 2 \frac {\pi} 2 2π。令直线的方向s,平面的发现A。
则 sin ϕ = s ⋅ A ∣ s ∣ ∣ A ∣ \sin \phi=\frac {s\cdot A}{|s||A|} sinϕ=∣s∣∣A∣s⋅A
五 杂例
例7 ：求直线 { x + y − z − 1 = 0 x − y + z + 1 = 0 \begin{cases} x+y-z-1=0\\ x-y+z+1=0 \end{cases} {x+y−z−1=0x−y+z+1=0在平面x+y+z=0的投影。
求此直线的平面束的方程为：
( x + y − z − 1 ) + λ ( x − y + z + 1 ) = 0 (x+y-z-1)+\lambda(x-y+z+1)=0 (x+y−z−1)+λ(x−y+z+1)=0
即 ( 1 + λ ) x + ( 1 − λ ) y + ( − 1 + λ ) z + ( − 1 + λ ) = 0 (1+\lambda)x+(1-\lambda)y+(-1+\lambda)z+(-1+\lambda)=0 (1+λ)x+(1−λ)y+(−1+λ)z+(−1+λ)=0
此平面束中x+y+z=0垂直的平面（法线点乘为0）为：
( 1 + λ ) + ( 1 − λ ) + ( − 1 + λ ) = 0 (1+\lambda)+(1-\lambda)+(-1+\lambda)=0 (1+λ)+(1−λ)+(−1+λ)=0
λ = − 1 \lambda=-1 λ=−1
所有求直线为以下两个平面的交线：
{ 2 y − 2 z − 2 = 0 即 y − z − 1 = 0 x + y + z = 0 \begin{cases} 2y-2z-2=0即y-z-1=0 \\ x+y+z=0 \end{cases} {2y−2z−2=0即y−z−1=0x+y+z=0
第五节 曲面及其方程
一、曲面研究的基本问题
在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：
（1），已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程。
（2）,已知坐标x,y和z间的一个方程时，研究这个方程所表示的形状。
二，旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所称的曲面叫旋转曲面，旋转的曲面和定直线分别叫旋转曲面的母线和轴。
设在yOz坐标平面上有一已知曲线C，它的方程为f(y,z)=0。则绕z轴旋转一周后形成的曲面：
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0 f(±x2+y2 ,z)=0
曲面的点 ( y 0 , z 0 ) 旋转一周，形成一个圆，垂直于 z 周，圆心 ( 0 , 0 , z 0 ) ，半径 ∣ y 0 ∣ (y_0,z_0)旋转一周，形成一个圆，垂直于z周，圆心(0,0,z_0)，半径|y0| (y0,z0)旋转一周，形成一个圆，垂直于z周，圆心(0,0,z0)，半径∣y0∣
例4 ：将zOx的坐标面上的双曲线 x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac {x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−c2z2=1分别绕z轴、x轴旋转一周，求所求的方程。下图是借用的图，非本书配套的图。
解 ：绕z轴旋转的曲面叫旋转单叶双曲面，它的方程为：
x 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+y2−c2z2=1
绕x轴旋转的曲面叫旋转双叶曲面，它的方程是：
x 2 a 2 − y 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1 a2x2−c2y2+z2=1
三，柱面
x 2 + y 2 = R , z 任意值 x^2+y^2=R,z任意值 x2+y2=R,z任意值，就是xOy平面的圆，移动 z = + ∞ , 在移动到 − ∞ z=+\infty,在移动到-\infty z=+∞,在移动到−∞形成的轨迹。
四、二次曲面
我们把三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。
共九种：
一，椭圆锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=z^2 a2x2+b2y2=z2
二，椭球面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
三，单叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2−c2z2=1
四，双叶双曲面 x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2−b2z2=1
五，椭圆抛物线 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z \frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z a2x2+b2y2=z
六，双曲抛物面 x 2 a 2 − y 2 b 2 = z \frac {x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z a2x2−b2y2=z
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面：
七，椭圆柱面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
八，双曲柱面 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1
九，抛物柱面： x 2 = a y x^2=ay x2=ay
第六节 空间曲线及其方程
一，空间曲线的一般方程
设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面，则方程组
{ F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0就是这两个曲面交线C的方程，方程组也叫做空间曲线的一般方程。
二，空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程 { x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) 空间曲线的参数方程\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t) \end{cases} 空间曲线的参数方程⎩ ⎨ ⎧x=x(t),y=y(t),z=z(t)
三，空间曲线在坐标上的投影
设空间曲线C的一般方程消去变量z所得方程为H(x,y)=0，则曲线在平面xOy的投影为：
{ H ( x , y ) = 0 , z = 0 \begin{cases} H(x,y)=0,\\ z=0 \end{cases} {H(x,y)=0,z=0
例4 ：已知两球面方程为：
x 2 + y 2 + z 2 = 1 (6-6) x^2+y^2+z^2=1 \tag{6-6} x2+y2+z2=1(6-6)
x 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 1 (6-7) x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1 \tag{6-7} x2+(y−1)2+(z−1)2=1(6-7)
解 (6-6)减去(6-7) 2 y − 1 + 2 z − 1 = 0 → z = 1 − y 2y-1+2z-1=0 \to z=1-y 2y−1+2z−1=0→z=1−y
代入(6-6) x 2 + y 2 + ( 1 − y ) 2 = x 2 + 2 y 2 − 2 y (6-8) x^2+y^2+(1-y)^2=x^2+2y^2-2y \tag {6-8} x2+y2+(1−y)2=x2+2y2−2y(6-8)
代入(6-7) x 2 + ( y − 1 ) 2 + y 2 (6-8) x^2+(y-1)^2+y^2 \tag {6-8} x2+(y−1)2+y2(6-8)
两者皆为：6-8。
故在xOy的投影为：
{ x 2 + 2 y 2 − 2 y , z = 0 \begin{cases} x^2+2y^2-2y,\\ z=0 \end{cases} {x2+2y2−2y,z=0
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
