每天学一个算法-- 归并排序（Merge Sort）

📘 归并排序（Merge Sort）

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1. 问题定义

给定数组 (A[1...n])，要求输出：

A\[1\]≤A\[2\]≤⋯≤A\[n\]\]\[ A\[1\] \\le A\[2\] \\le \\dots \\le A\[n\] \]\[A\[1\]≤A\[2\]≤⋯≤A\[n\]

2. 核心思想

归并排序同样基于：

分治（Divide and Conquer）

但与快速排序的关键区别：

快排：先划分，再递归（Partition-based）
归并：先递归，再合并（Merge-based）

3. 核心术语

3.1 分治（Divide）

将数组递归拆分为：

A\[l..r\]→A\[l..mid\]+A\[mid+1..r\]\]\[ A\[l..r\] \\rightarrow A\[l..mid\] + A\[mid+1..r\] \]\[A\[l..r\]→A\[l..mid\]+A\[mid+1..r\]

直到每个子数组长度为 1

3.2 合并（Merge）

定义：

将两个已排序数组合并为一个有序数组

关键性质：

• 输入：两个有序序列
• 输出：一个有序序列

3.3 稳定性（Stability）

归并排序是：

✅ 稳定排序

因为合并时：

• 相等元素保持原顺序

3.4 非原地（Out-of-place）

归并排序需要：

• 额外数组辅助合并

空间复杂度为：

O(n)\]\[ O(n) \]\[O(n)

4. 算法结构

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4.1 主函数

MergeSort(A, l, r):
    if l >= r:
        return

    mid = (l + r) // 2

    MergeSort(A, l, mid)
    MergeSort(A, mid+1, r)

    Merge(A, l, mid, r)

4.2 合并函数

Merge(A, l, mid, r):
    创建临时数组 temp

    i = l
    j = mid + 1

    while i ≤ mid and j ≤ r:
        if A[i] ≤ A[j]:
            temp.append(A[i])
            i++
        else:
            temp.append(A[j])
            j++

    将剩余部分加入 temp

    拷贝回 A[l..r]

5. 核心机制（教学重点）

5.1 归并排序的本质

不是"直接排序"，而是：

先拆到最小，再逐层合并

5.2 为什么一定能排序成功？

因为：

每一层都满足：

• 子数组已经有序
• 合并操作保持有序

5.3 合并过程本质

本质是：

两个指针的线性扫描

6. 示例

初始数组

[6, 3, 8, 5]

拆分过程

[6,3,8,5]
→ [6,3] [8,5]
→ [6] [3] [8] [5]

合并过程

[6] + [3] → [3,6]
[8] + [5] → [5,8]

最终

[3,6] + [5,8] → [3,5,6,8]

7. 时间复杂度

7.1 递推式

T(n)=2T(n/2)+O(n)\]\[ T(n) = 2T(n/2) + O(n) \]\[T(n)=2T(n/2)+O(n)

7.2 求解

T(n)=O(nlog⁡n)\]\[ T(n) = O(n \\log n) \]\[T(n)=O(nlogn)

7.3 关键理解

• 每一层合并成本：(O(n))(O(n))(O(n))
• 层数：(log⁡n)(\log n)(logn)

8. 空间复杂度

需要辅助数组：

O(n)\]\[ O(n) \]\[O(n)

9. 与快速排序对比（重点）

项目	快速排序	归并排序
核心操作	partition	merge
时间复杂度	平均 (n log n)	始终 (n log n)
最坏情况	(n^2)	(n log n)
空间	原地	额外 (n)
稳定性	❌	✅

10. 常见错误

❌ 错误1：认为 merge 很复杂

👉 本质只是"双指针"

❌ 错误2：忘记处理剩余部分

必须：

while i ≤ mid
while j ≤ r

❌ 错误3：边界写错

特别是：

mid + 1

11. 关键结论

1. 归并排序核心是 merge
2. 时间复杂度稳定 (nlogn)(n log n)(nlogn)
3. 空间换时间
4. 适用于大规模稳定排序

12. 最小教学总结

归并排序不是"在排"，而是：
把问题拆小 → 再把有序结果合起来