关于边缘化原理的详述可以看这篇笔记：滑动窗口与边缘化。
如上图，激光里程计因子（绿色）和imu积分因子（红色）同时约束相邻的节点。若要删除第0帧，就需要通过"边缘化"的操作把旧帧的约束传递下来，作为一个"边缘化先验因子"继续参与优化，约束窗口中剩余的所有与被边缘化变量曾有共同约束的状态变量。如下图所示：
边缘化时，挑出和要边缘化掉的量相关的因子，构建待边缘化的Hessian矩阵，并使用舒尔补做边缘化提取出先验约束因子**。** 假设为待边缘化的Hessian矩阵：
对于可以拆解为如下形式：
其中，
对应要边缘化掉的
。拆解的目的是通过一系列操作，把从状态量里删除掉，并将与它相关的因子的约束保留下来。借助舒尔补理论对矩阵H进行三角化，即：
化简可得：
此时不想再优化，那就只计算
，可以利用等式第2行直接得到：
这一步形成的约束（上式）就叫先验因子，它包含了边缘化掉的量对剩余变量的约束关系。此时得到了关于剩余变量的先验信息矩阵和向量：
此时，先验系统满足方程：
由于优化器实际需要的是Jacobian矩阵和残差，所以需要根据和
来反推出
和
。而所有合法的图优化因子对应的Hessian矩阵，都可以表示为某个Jacobian矩阵的转置乘以自身（将
合并到
中，令
，则
）。
反推的过程会使用特征值分解的方法，从Hessian矩阵中分解出Jacobian矩阵。特征值分解过程为：
则先验因子对应的Jacobian矩阵和残差为：
之所以敢放心地对先验因子进行特征值分解，并在后续继续使用它，其根本底气就来源于：舒尔补操作完美继承了原 Hessian 矩阵的对称半正定性（SPSD, Symmetric Positive Semi-Definite）。
对称半正定矩阵的谱分解（特征值分解）定理
对于任意n阶对称半正定矩阵 A，存在正交矩阵V（满足
）和对角矩阵
由于所有特征值非负，我们可以定义
显然有
。将其代入谱分解公式，得：
令
，则可得：
这正是我们需要的 Hessian 与 Jacobian 的关系。
的对称半正定性的证明过程如下：
1.原始矩阵 H 是对称半正定的
在基于非线性最小二乘的图优化中，我们的 Hessian 矩阵其实是近似的，它是雅可比矩阵 J 和信息矩阵的乘积：
因为协方差矩阵的逆是对称正定的，所以无论
是什么样，
天然就是一个对称半正定矩阵（
）。
原矩阵的分块形式为：
边缘化得到的先验矩阵（舒尔补）为：
2.证明：的对称性
这部分非常直观，只需对**** 求转置即可。已知
是对称的，所以有：
，
，
对舒尔补求转置，得：
代入对称条件，得：
结论：****绝对是对称的。
3.证明：的半正定性
要证明一个矩阵是半正定的，最经典的方法是证明它的二次型大于等于零。这个过程在状态估计中有着极强的物理意义------它代表着系统的"能量"或"误差代价"永远是非负的。
根据半正定的定义，因为原矩阵**** ，所以对于任意 维数匹配的向量
，都必定满足：
既然这个不等式对任意 的都成立，那我们不妨为
巧妙地"特制"一个值。我们令：
将二次型中展开，得：
把这个特制的
带入先三项，得：
- 第一项：
- 第二项：
- 第三项：
其中，第一项和第二项抵消，则剩下的结果是：
提取公因式：
因为原始矩阵**** ，所以左边
永远成立。因此，等式右边必定有
。既然对于任意 的，
都成立，这就完美契合了半正定矩阵的数学定义。
结论：****是半正定的。
4.唯一的一个"隐患"：必须可逆
在这个证明中，我们理所当然地使用了。在纯数学层面上，如果**
**不可逆（即存在零空间），舒尔补是无法直接计算的（需要用伪逆）。
在实际的多传感器融合架构中，被边缘化的状态通常是最老帧的位姿和相关的速度、零偏）几乎总是受到充足的观测约束（比如它与局部地图有多个特征点匹配，且有 IMU 预积分约束）。这些充足的约束保证了局部的**
** 是一个严格的正定矩阵（
），因此求逆是绝对安全的。