SLAM实战避坑指南：对极几何与极点极线推导——吃透零空间与对极约束

对极几何与极点极线推导梳理

投影方程：

d1p1=KP(1) d_1 p_1 = K P \qquad (1) d1p1=KP(1)

d2p2=K(RP+t)(2) d_2 p_2 = K (R P + t) \qquad (2) d2p2=K(RP+t)(2)
归一化坐标：

消除内参 KKK，得到归一化坐标 x=K−1px = K^{-1} px=K−1p：

d1x1=P(3) d_1 x_1 = P \qquad (3) d1x1=P(3)

d2x2=RP+t(4) d_2 x_2 = R P + t \qquad (4) d2x2=RP+t(4)
消元与叉积：

将 (3) 代入 (4) 消去 PPP：

d2x2=d1Rx1+t d_2 x_2 = d_1 R x_1 + t d2x2=d1Rx1+t

两边左乘 t∧t^\wedget∧（反对称矩阵，表示叉乘 t×t \timest×）：

t∧d2x2=t∧d1Rx1+t∧t t^\wedge d_2 x_2 = t^\wedge d_1 R x_1 + t^\wedge t t∧d2x2=t∧d1Rx1+t∧t

由于 t∧t=0t^\wedge t = 0t∧t=0，简化为：

d2(t×x2)=d1(t×Rx1) d_2 (t \times x_2) = d_1 (t \times R x_1) d2(t×x2)=d1(t×Rx1)
点积归零：

两边左乘 x2Tx_2^Tx2T：

d2x2T(t×x2)=d1x2T(t×Rx1) d_2 x_2^T (t \times x_2) = d_1 x_2^T (t \times R x_1) d2x2T(t×x2)=d1x2T(t×Rx1)

左边 x2T(t×x2)=0x_2^T (t \times x_2) = 0x2T(t×x2)=0（叉乘结果垂直于原向量，点积为0），故：

x2T(t∧R)x1=0 x_2^T (t^\wedge R) x_1 = 0 x2T(t∧R)x1=0
最终形式：
- 本质矩阵 ：E=t∧RE = t^\wedge RE=t∧R，满足 x2TEx1=0x_2^T E x_1 = 0x2TEx1=0。
- 基础矩阵 ：F=K−TEK−1F = K^{-T} E K^{-1}F=K−TEK−1，满足 p2TFp1=0p_2^T F p_1 = 0p2TFp1=0。

给定基础矩阵 F21F_{21}F21（从图1到图2的映射）：

图像1中的点 p1p_1p1 在 图像2 中对应的极线 l2l_2l2：

l2=F21p1 l_2 = F_{21} p_1 l2=F21p1
图像2中的点 p2p_2p2 在 图像1 中对应的极线 l1l_1l1：

l1=F21Tp2 l_1 = F_{21}^T p_2 l1=F21Tp2

极点满足：极点在其对应图像的极线上永远成立。

e1e_1e1 是相机2的光心投影。当图像1的点取 e1e_1e1 时，对应的极线在图像2中退化（过原点），即 F21e1=0F_{21} e_1 = 0F21e1=0。
计算：e1e_1e1 是 F21F_{21}F21 的右零空间（Null Space）。

F21e1=0 F_{21} e_1 = 0 F21e1=0

e2e_2e2 是相机1的光心投影。对于图像2中的任意极线 l2l_2l2，都有 e2Tl2=0e_2^T l_2 = 0e2Tl2=0。

代入 l2=F21p1l_2 = F_{21} p_1l2=F21p1，得 e2TF21p1=0⇒(F21Te2)Tp1=0e_2^T F_{21} p_1 = 0 \Rightarrow (F_{21}^T e_2)^T p_1 = 0e2TF21p1=0⇒(F21Te2)Tp1=0。
计算：e2e_2e2 是 F21F_{21}F21 的左零空间。

F21Te2=0 F_{21}^T e_2 = 0 F21Te2=0

对 FFF 进行奇异值分解 F=UΣVTF = U \Sigma V^TF=UΣVT：

这是最容易混淆的部分，关键在于明确 FFF 的下标定义。

FABF_{AB}FAB 表示将图像 BBB 中的点映射到图像 AAA 中的极线。

极点 eAe_AeA 是"另一个相机（BBB）"在"图像 AAA"上的投影。

下标约定 ：FABF_{AB}FAB 的下标 AAA 表示目标图像 （极线所在图像），BBB 表示源图像 （特征点所在图像）。因此 F21F_{21}F21 将图像1（源）中的点映射到图像2（目标）中的极线。

假设我们定义 F21F_{21}F21 （即方程 p2TF21p1=0p_2^T F_{21} p_1 = 0p2TF21p1=0）：

如果定义 F12F_{12}F12 （即方程 p1TF12p2=0p_1^T F_{12} p_2 = 0p1TF12p2=0），则所有关系反转：

对象	求解方程 (针对 F12F_{12}F12)
e1e_1e1 (图像1极点)	F12Te1=0F_{12}^T e_1 = 0F12Te1=0
e2e_2e2 (图像2极点)	F12e2=0F_{12} e_2 = 0F12e2=0

"点在矩阵右边" ：如果 FFF 乘以 p1p_1p1 得到 l2l_2l2，那么 FFF 就是从1到2的映射（即 F21F_{21}F21）。
"极点找零空间"（通用规则）：
- 对于基础矩阵 FijF_{ij}Fij（从图像 jjj 到图像 iii）：
  - 图像 jjj 的极点 eje_jej 满足 Fijej=0F_{ij} e_j = 0Fijej=0（右零空间）
  - 图像 iii 的极点 eie_iei 满足 FijTei=0F_{ij}^T e_i = 0FijTei=0（左零空间）
- 具体地（当使用 F21F_{21}F21 时）：
  - 求 图像1的极点 e1e_1e1 ：解 F21e1=0F_{21} e_1 = 0F21e1=0
  - 求 图像2的极点 e2e_2e2 ：解 F21Te2=0F_{21}^T e_2 = 0F21Te2=0
物理验证 ：极点一定是另一个相机光心 的位置。如果你算出来的 e1e_1e1 不在图像1上，或者位置不对，立刻检查 FFF 的定义方向。