408 数据结构：快排 / 堆排 / 归并 / 希尔 等排序算法对比（复杂度、稳定性、真题考点）
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- 一、八种内部排序总览
- 二、稳定性判断
- [三、最好 / 最坏情况分析](#三、最好 / 最坏情况分析)
- 四、空间复杂度
- 五、比较次数与移动次数
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- [三个 408 高频结论](#三个 408 高频结论)
- [六、真题常见考法 + 速查表](#六、真题常见考法 + 速查表)
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- [考法 1：稳定性辨析（选择题）](#考法 1：稳定性辨析（选择题）)
- [考法 2：最佳算法选择（选择题）](#考法 2：最佳算法选择（选择题）)
- [考法 3：逐步执行过程（大题）](#考法 3：逐步执行过程（大题）)
- [考法 4：排序趟数与初始序列的关系（选择题）](#考法 4：排序趟数与初始序列的关系（选择题）)
- [考法 5：比较次数下界](#考法 5：比较次数下界)
- 速查表
排序是 408 数据结构的独立章节，考点密集但分散。选择题常考稳定性、最好最坏复杂度、空间复杂度、比较次数；大题常考某种排序的逐步执行过程（尤其是快排、堆排、归并）。本文按 408 考纲对八种内部排序做横向对比，聚焦真题高频考法。
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内容分 6 节：
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八种内部排序总览
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稳定性判断
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最好/最坏情况分析
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空间复杂度
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比较次数与移动次数
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真题常见考法 + 速查表
一、八种内部排序总览
| 算法 | 最好时间 | 平均时间 | 最坏时间 | 空间 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 折半插入排序 | O(n log n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | --- | 约 O(n^1.3) | O(n²) | O(1) | 不稳定 |
| 冒泡排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 快速排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n²) | O(log n) | 不稳定 |
| 简单选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(n) | 稳定 |
非比较排序（突破 O(n log n) 下界）：
| 算法 | 时间 | 空间 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| 基数排序 | O(d × (n + r)) | O® | 稳定 |
d = 关键字位数，r = 基数（十进制 r = 10），n = 记录数。
二、稳定性判断
口诀 ：快选希堆不稳定，其余稳定。
- 不稳定：快 速排序、简单选 择排序、希 尔排序、堆排序
- 稳定：直接插入、折半插入、冒泡、归并、基数
稳定性的本质：排序过程中是否可能把两个关键字相同的元素的相对位置颠倒。
为什么快排不稳定
快排的 partition 会把等于基准的元素交换到两侧，可能破坏相同关键字元素的原始顺序。
例：序列 [3a, 1, 3b, 2]，以 3a 为基准，partition 后可能变成 [1, 2, 3b, 3a]，3a 和 3b 的相对位置颠倒。
为什么堆排不稳定
建堆和调整堆时，父子交换会跨越多个相同关键字的元素位置。
为什么希尔排序不稳定
不同增量分组时，相同关键字可能分到不同子序列，组内调整可能改变它们的相对位置。
为什么简单选择排序不稳定
每趟从未排序部分选最小值，与未排序部分第一个交换。例 [5a, 3, 5b, 2, 1]，第一趟选最小 1 与 5a 交换，5a 被抛到后面，超过了 5b。
三、最好 / 最坏情况分析
| 场景 | 最快算法 | 原因 |
|---|---|---|
| 数据基本有序 | 直接插入排序 O(n) | 内层循环几乎不执行 |
| 数据基本有序 | 冒泡排序 O(n) | 加"本趟是否交换"标志后第一趟即终止 |
| 数据完全逆序 | 快排退化为 O(n²) | 每次 partition 只分出 1 个元素 |
| 任意分布要求 O(n log n) | 归并排序、堆排序 | 不受初始分布影响 |
快排最坏情况
基准选择不当（如总是选最左/最右，而数据已经有序或逆序）会导致每次 partition 只减少 1 个元素，退化为 O(n²)。
工程优化：随机选基准、三数取中等。408 考试一般按"直接取第一个元素为基准"处理。
快排最好情况
每次 partition 恰好均分，递归深度 log n，总比较次数 n log n。
堆排序为什么稳定在 O(n log n)
- 建堆：O(n)
- n 次调整：每次 O(log n)，合计 O(n log n)
- 总时间：O(n log n)，与初始顺序无关
四、空间复杂度
| 空间 | 算法 |
|---|---|
| O(1) | 插入、冒泡、选择、希尔、堆排序 |
| O(log n) | 快速排序（递归栈平均深度） |
| O(n) | 归并排序 |
| O® | 基数排序（r 为基数） |
易错点：
- 快排的空间是 O(log n)（平均）到 O(n)（最坏），取决于 partition 的划分均匀性
- 归并排序需要 O(n) 的辅助数组，不能原地
五、比较次数与移动次数
| 算法 | 比较（最好） | 比较（最坏） | 移动（最好） | 移动（最坏） |
|---|---|---|---|---|
| 直接插入 | n−1 | n(n−1)/2 | 0 | n(n−1)/2 |
| 冒泡排序 | n−1 | n(n−1)/2 | 0 | 3n(n−1)/2 |
| 简单选择 | n(n−1)/2 | n(n−1)/2 | 0 | 3(n−1) |
三个 408 高频结论
- 简单选择排序的比较次数固定为 n(n−1)/2，与初始序列无关
- 冒泡排序每次交换需要 3 次赋值 （
temp = a; a = b; b = temp），而插入排序每次移动只需 1 次赋值。因此同为 O(n²)，插入比冒泡快 3-5 倍 - 直接插入排序的最少移动次数为 0（输入有序时），最多为 n(n−1)/2
六、真题常见考法 + 速查表
考法 1：稳定性辨析（选择题）
典型题干："下列排序算法中不稳定的是？"
答题：套"快选希堆"口诀。
考法 2：最佳算法选择（选择题）
典型题干："对关键字基本有序的序列，以下排序方法中效率最高的是？"
答：直接插入排序（最好 O(n)）。
变体：
- "数据规模小且要求原地排序" → 插入或希尔
- "任意数据要求稳定 + O(n log n)" → 归并排序
- "要求 O(1) 空间 + O(n log n) 最坏" → 堆排序
- "平均性能最优" → 快速排序
考法 3：逐步执行过程（大题）
典型题干：给定序列，写出快排/堆排/归并每一趟（或某一趟后）的状态。
手算要点：
- 快排：每趟 partition 产生一个基准就位，两侧递归
- 堆排：先建堆（自底向上），再每次把堆顶与末尾交换后下调
- 归并：自底向上两两合并，每趟子序列长度翻倍
考法 4：排序趟数与初始序列的关系（选择题）
| 算法 | 趟数是否与初始序列相关 |
|---|---|
| 直接插入、冒泡 | 可能相关（最好情况可能提前终止） |
| 简单选择、堆排、归并 | 无关（趟数固定） |
| 快排 | 相关（取决于划分均匀性） |
考法 5：比较次数下界
基于比较的排序算法时间下界为 Ω(n log n)。证明思路：n! 种输入排列，每次比较最多区分两种情况，需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。
非比较排序（基数、计数、桶）可以突破这一下界，但需要数据具有特殊结构。
速查表
| 考点 | 考频 | 关键记忆 |
|---|---|---|
| 稳定性口诀 | ★★★★★ | 快选希堆不稳定 |
| 时间复杂度对比 | ★★★★★ | 快排平均最优；归并堆排最坏最优 |
| 空间复杂度 | ★★★★★ | 快排 log n；归并 n；其余 1 |
| 逐步执行手算 | ★★★★★ | 快排、堆排、归并大题必考 |
| 基本有序选插入 | ★★★★☆ | 插入最好 O(n) |
| 比较次数固定的算法 | ★★★★☆ | 简单选择固定 n(n-1)/2 |
| 趟数与初始序列关系 | ★★★☆☆ | 选择/堆排/归并固定；插入/冒泡/快排可变 |
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参考文章
https://www.codebrick.tech/ds-blog/posts/sorting/comparison.html