案例教学：最长递增子序列问题

典型题目：最长递增子序列

题目描述：给定一个整数数组，找到其中最长严格递增子序列的长度。

思路：定义 dpi 为考虑前 i 个元素，以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 numsi 必须被选取。

那么，从小到大计算 dp 数组的值，在计算 dpi 之前，已经计算出 dp0...i−1 的值，则状态转移方程为：

dpi = max(dpj)+1，其中 0≤j<i 且 numj<numi。

即考虑往 dp0...i−1 中最长的上升子序列后面再加一个 numsi。由于 dpj 代表 nums0...j 中以 numsj 结尾的最长上升子序列，所以如果能从 dpj 这个状态转移过来，那么 numsi 必然要大于 numsj，才能将 numsi 放在 numsj 后面以形成更长的上升子序列。

最后，整个数组的最长上升子序列即所有 dpi 中的最大值。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = (int)nums.size();
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        vector<int> dp(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        return *max_element(dp.begin(), dp.end());
    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

好了，本文到这里就结束了，希望认真阅读全文的小伙伴，都能有所收获哦！