csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【区间贪心】：雷达安装

题目描述

假设海岸线是一条无限延伸的直线。它的一侧是陆地，另一侧是海洋。每一座小岛是在海面上的一个点。雷达必须安装在陆地上（包括海岸线），并且每个雷达都有相同的扫描范围 d d d。你的任务是建立尽量少的雷达站，使所有小岛都在扫描范围之内。

数据使用笛卡尔坐标系，定义海岸线为 x x x 轴。在 x x x 轴上方为海洋，下方为陆地。

输入格式

第一行包括 2 2 2 个整数 n n n 和 d d d， n n n 是岛屿数目， d d d 是雷达扫描范围。

接下来 n n n 行，每行两个整数，为岛屿坐标。

输出格式

一个整数表示最少需要的雷达数目，若不可能覆盖所有岛屿，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

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输出 #1

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说明/提示

样例 1 解释

数据范围

对于全部数据， n ≤ 1000 n\le1000 n≤1000， $d \\le 2\\times 10\^4 ，，， \| x_i \| \\le 2 \\times 10\^6 ，，， 0 \\le y_i \\le 2\\times 10\^4$ 。

思路分析

将每个岛屿转化为海岸线（x轴）上的一个区间：对于岛屿坐标 ((x, y))，雷达覆盖半径 (d)，若 (y > d) 则无解；否则区间为 [ x − d 2 − y 2 , x + d 2 − y 2 ] [x - \sqrt{d^2 - y^2},\; x + \sqrt{d^2 - y^2}] [x−d2−y2 ,x+d2−y2 ]。
问题变成：在数轴上选最少的点，使每个区间至少包含一个点。经典贪心解法：
1. 按区间右端点升序排序。
2. 初始化当前雷达位置为 − ∞ -\infty −∞，雷达数 (cnt=0)。
3. 遍历每个区间，若当前雷达位置小于区间左端点，则必须在此区间右端点放置一个新雷达，(cnt++)，并更新雷达位置为该右端点。
输出 cnt，若有岛屿 y > d 则输出 -1。

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct seg{ 
    double l,r; 
}a[1005];//存储区间

bool cmp(seg x,seg y){ 
    return x.r<y.r; //按右端点升序
}

int main(){
    int n,d; cin>>n>>d;
    int x,y;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x>>y;
        if(y>d){ cout<<-1; return 0; }//无法覆盖
        double t=sqrt(d*d-y*y);//半宽
        a[i].l=x-t; a[i].r=x+t;//计算区间
    }
    sort(a,a+n,cmp);//排序
    int cnt=0; double lst=-1e9;//cnt雷达数,lst最后雷达位置
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(lst<a[i].l){//需要新雷达
            cnt++;
            lst=a[i].r;//放在右端点
        }
    }
    cout<<cnt;
    return 0;
}

功能分析

输入处理：读取 (n,d) 及每个岛屿坐标，若 (y>d) 直接输出 -1 结束。
区间转换 ：对每个岛屿计算雷达可放置的区间 [ x − d 2 − y 2 , x + d 2 − y 2 ] [x-\sqrt{d^2-y^2},\;x+\sqrt{d^2-y^2}] [x−d2−y2 ,x+d2−y2 ]。
贪心覆盖：按区间右端点排序后，维护当前最后一个雷达的位置，若无法覆盖新区间则在该区间右端点新增雷达。
输出：最少雷达数。时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn)，空间 O ( n ) O(n) O(n)，满足 n ≤ 1000 n\le 1000 n≤1000 的要求。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}