每天学一个算法--DFS / BFS

📘 教案 14：DFS / BFS 搜索进阶（与回溯的统一理解）

一、问题本质

在很多问题中，我们面对的不是数组，而是一个"状态空间"。

例如：

迷宫中从起点走到终点
在棋盘上放置棋子（如 N 皇后）
在字符串中逐步构造答案
在图中寻找路径

这些问题本质上都是：

在一个巨大的"可能性空间"中，寻找满足条件的路径或结果。

二、统一视角：搜索 = 在状态空间中移动

可以把所有问题抽象为：

每个"状态"是一个节点
每个"选择"是一条边
整体构成一张隐式图

因此：

所谓搜索算法，本质是在一张"隐式图"上进行遍历。

三、DFS：深度优先搜索（Depth-First Search）

1. 基本思想

从一个状态出发，沿着一条路径不断深入，直到：

找到解
或无法继续

然后回退，尝试其他路径。

2. 与回溯的关系（关键）

回溯其实就是：

带约束的 DFS

区别在于：

DFS：只是遍历
回溯：在 DFS 过程中"筛选合法路径"

3. 结构模型

python 复制代码

def dfs(state):
    if state 满足条件:
        记录结果
        return

    for next_state in 所有可能选择:
        if 不合法:
            continue

        做选择
        dfs(next_state)
        撤销选择

4. 核心特征

走一条路走到底
使用递归（或栈）
适合"找所有解"或"构造解"

四、BFS：广度优先搜索（Breadth-First Search）

1. 基本思想

从起点出发，逐层扩展：

先访问所有"距离为1"的状态
再访问所有"距离为2"的状态
以此类推

2. 结构模型

python 复制代码

from collections import deque

def bfs(start):
    queue = deque([start])
    visited = set([start])

    while queue:
        state = queue.popleft()

        for next_state in 相邻状态:
            if next_state 未访问:
                visited.add(next_state)
                queue.append(next_state)

3. 核心特征

一层一层扩展
使用队列
第一次到达目标即为最短路径（在无权图中）

五、DFS 与 BFS 的本质区别

维度	DFS	BFS
搜索方向	深度优先	层级扩展
数据结构	栈 / 递归	队列
是否最短路径	不保证	保证（无权图）
适合问题	枚举、构造	最短路径

六、与回溯的统一理解（关键部分）

可以把三者统一为一件事：

都是在"状态空间图"中搜索

但侧重点不同：

DFS（纯搜索）

目标：遍历
不关心路径合法性

回溯（DFS + 剪枝）

目标：找所有合法解
关键：剪枝

BFS

目标：找最短路径
关键：层级扩展

七、典型问题对比

1. 迷宫路径

找任意路径 → DFS
找最短路径 → BFS

2. N 皇后

必须用 DFS + 回溯

3. 最短步数问题（如变换问题）

必须用 BFS

八、一个统一示例（帮助理解）

问题：从 0 变到 target，每次可以：

DFS 思路

不断尝试路径
可能重复走
可能很慢

BFS 思路

层层扩展
第一次到 target → 最短路径

👉 这个例子非常典型：

BFS = 在"操作次数最少"的意义下找最优解

九、常见错误

DFS 忘记"撤销状态"（导致结果错误）
BFS 忘记 visited（导致无限循环）
用 DFS 求最短路径（效率极差）
回溯没有剪枝（变成纯暴力）

十、本质总结

搜索类算法的统一本质可以表述为：

在一个隐式定义的状态空间中，通过系统地扩展状态，找到满足条件的路径或解。

更适合教学的一句话表达

DFS 是沿路径深入的搜索方式，BFS 是按层扩展的搜索方式，而回溯是在 DFS 基础上加入约束以筛选解的一种搜索策略。