P2639 [USACO09OCT] Bessie‘s Weight Problem G

记录107

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool dp[45010]; 
int main(){	
	int n,h,s;//几捆草，最大草量，每捆重量	 
	cin>>h>>n;//输入 
	dp[0]=1;//初始dp起点 
	for(int i=1;i<=n;i++){//遍历每捆草 
		cin>>s;//输入斤数 
		for(int j=h;j>=s;j--){//斤数是背包 
			if(j-s>=0&&dp[j-s]) dp[j]=1;//斤数是否合法 
		}
	}
	for(int j=h;j>0;j--){//从最大斤数开始向后找 
		if(dp[j]){//找到满足的了 
			cout<<j;//输出 
			break;//跳出循环 
		}
	}
	return 0;//结束程序 
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P2639

突破口

Bessie 像她的诸多姊妹一样，因为从 Farmer John 的草地吃了太多美味的草而长出了太多的赘肉。所以 FJ 将她置于一个及其严格的节食计划之中。她每天不能吃多过 H(5≤H≤45,000) 公斤的干草。 Bessie 只能吃一整捆干草；当她开始吃一捆干草的之后就再也停不下来了。她有一个完整的N(1≤N≤500) 捆可以给她当作晚餐的干草的清单。她自然想要尽量吃到更多的干草。很自然地，每捆干草只能被吃一次（即使在列表中相同的重量可能出现 2 次，但是这表示的是两捆干草，其中每捆干草最多只能被吃掉一次）。给定一个列表表示每捆干草的重量 Si(1≤Si≤H) , 求 Bessie 不超过节食的限制的前提下可以吃掉多少干草（注意一旦她开始吃一捆干草就会把那一捆干草全部吃完）。

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

Bessie 每天最多吃 H 公斤干草（不能超过）
有 N 捆干草 ，每捆重量为 S_i（1 ≤ S_i ≤ H）
每捆只能吃一次（即使重量相同，也是不同捆）
一旦开始吃一捆，就必须吃完
目标：在 不超过 H 的前提下，吃尽可能多的干草（总重量最大）

✅ 这是一个经典的 0-1 背包问题：

背包容量 = H

每个物品重量 = S_i，价值 = S_i（因为目标是最大化总重量）

求不超过容量的最大总价值 → 即最大总重量

但注意：我们不需要记录"价值"，只需要知道某个总重量是否可达 → 可用 布尔型 DP（可行性 DP）

📌 输入样例解析

复制代码

H = 56, N = 4
干草重量：15, 19, 20, 21
最优组合：15 + 20 + 21 = 56 → 正好达到上限 → 输出 56 ✅

🧠 二、解题思路：0-1 背包（可行性 + 贪心找最大）

方法选择

定义 dp[w] = true 表示 总重量 w 是可以达到的
初始化：dp[0] = true（不吃任何草，重量为 0）
对每捆草 s，做 0-1 背包更新（倒序）
最终：从 w = H 往下找，第一个 dp[w] == true 就是答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool dp[45010]; // dp[w]：是否能恰好吃到 w 公斤干草
数组大小 45010：因为 H ≤ 45000，安全起见开到 45010

int main(){
int n, h, s; // n: 干草捆数, h: 最大允许重量, s: 当前干草重量
cin >> h >> n; // 读入 H 和 N
复制代码
```
  dp[0] = 1; // 初始状态：不吃任何草，总重量为 0（可达）
```

全局数组默认初始化为 false，所以只需设 dp[0]=true

复制代码

  for(int i = 1; i <= n; i++){ // 遍历每一捆干草
      cin >> s; // 读入当前干草的重量

      for(int j = h; j >= s; j--){ // 倒序遍历可能的总重量
          if(j - s >= 0 && dp[j - s]) 
              dp[j] = 1; // 如果 j-s 可达，则 j 也可达
      }
  }

🔄 背包更新详解：

外层：处理第 i 捆草
内层：从 h 到 s 倒序遍历总重量 j
如果 dp[j - s] == true，说明加上当前这捆草后可以达到 j
标记 dp[j] = true

✅ 这是标准的 0-1 背包可行性更新

倒序防止同一捆草被重复使用

复制代码

    for(int j = h; j > 0; j--){ // 从最大可能重量往下找
        if(dp[j]){ // 找到第一个可达的重量
            cout << j; // 输出
            break; // 立即退出
        }
    }

因为要最大重量 ，所以从 H 开始往下找
第一个 true 就是答案

⚠️ 注意：题目保证至少可以吃 0 公斤，但输出要求是"最多吃多少"，而 j > 0，但如果所有草都吃不下（比如最小草 > H），会输出什么？

实际上，dp[0]=true，但循环 j>0，所以如果没有任何正重量可达，不会输出任何东西？

但题目说明："Bessie 只能吃一整捆干草 "，且 S_i ≥ 1，H ≥ 5，数据保证有解 （至少可以吃 0，但通常有正解）。而且样例和实际比赛中，总会有一个正解或 0。

不过严格来说，应考虑 j >= 0，但题目隐含 至少可以不吃（0），而输出要求是"最多吃多少"，如果实在吃不下任何一捆，答案就是 0。

但本题输入约束 S_i ≥ 1, H ≥ 5，且 N ≥ 1，很可能总有正解。而且样例输出 56 > 0。

✅ 在本题上下文中，这样写是安全的。

cpp 复制代码

    return 0;
}

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
`dp` 类型	`bool` 足够，只关心可达性
倒序更新	防止同一捆草被多次使用（0-1 背包核心）
初始化	`dp[0]=1` 正确，其余默认 `false`
查找答案	从 `H` 往下找，第一个 `true` 即最大可能值
空间优化	使用一维数组，节省内存（N≤500, H≤45000，一维足够）

总结：问题与解法对应

题目要求	DP 设计
每捆草只能吃一次	0-1 背包
总重量 ≤ H	背包容量为 H
最大化总重量	找最大的可达 `w ≤ H`
输出最大重量	从 H 向下扫描 `dp[w]`