P1832 A+B Problem（再升级）

记录110

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[1010];//注意longlong 
bool f(int x){//判断素数 
	if(x<2) return false;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0) return false;
	}
	return true;
} 
int main(){//完全背包 
	int n; 
	cin>>n;
	dp[0]=1;//dp起点 
	for(int i=2;i<=n;i++){//遍历数字 
		if(f(i)){//判断素数i 
			for(int j=i;j<=n;j++) dp[j]+=dp[j-i];//用素数i来组成数字j 
		}
	}
	cout<<dp[n];//输出 
	return 0;//结束程序 
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1832

突破口

给定一个正整数 n，求将其分解成若干个素数之和的方案总数。

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

给定一个正整数 n，求 将 n 表示为若干个素数之和的方案总数。

✅ 注意：

顺序不同视为同一种方案 （例如 2+5 和 5+2 算一种）

允许重复使用同一个素数 （如 2+2+3 是合法的）

每个加数必须是素数

这实际上是一个 "用素数作为物品，组成总和为 n 的方案数" 的问题。

📌 样例解析

输入 #1：n = 7

合法分解（不考虑顺序）：

7
2 + 5
2 + 2 + 3

共 3 种 → 输出 3 ✅

输入 #2：n = 20 → 输出 26（无需手动验证）

🧠 二、解题思路：完全背包计数模型

关键观察

素数可以重复使用（如两个 2）
方案不考虑顺序（即组合而非排列）
这正是 完全背包的"组合类计数"问题

💡 对比：

如果考虑顺序（如 2+5 和 5+2 不同），则是"排列型"，需外层遍历容量

本题要求无序组合 → 应外层遍历物品（素数），内层遍历容量

动态规划设计

dp[j]：表示组成数字 j 的方案总数
初始化：dp[0] = 1（空和，1 种方案）
对每个素数 p（从小到大枚举）：
- 对 j = p to n：
  - dp[j] += dp[j - p]

✅ 这样能保证：每种组合只按素数递增顺序生成一次，避免重复计数

分析代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[1010]; // dp[j]：组成 j 的方案数，注意可能很大，用 long long

n ≤ 1000，但方案数可能指数级增长（如 n=1000 时方案数极大）
所以用 long long 防止溢出（题目未说取模，需存大数）

cpp 复制代码

bool f(int x){ // 判断 x 是否为素数
    if(x < 2) return false;
    for(int i = 2; i * i <= x; i++){
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

标准的素数判断函数
x < 2 → 非素数
试除到 √x 即可

cpp 复制代码

int main(){
    int n; 
    cin >> n;
    dp[0] = 1; // 基础情况：和为 0 有 1 种方案（什么都不选）

cpp 复制代码

    for(int i = 2; i <= n; i++){ // 枚举所有可能的"物品"：2 到 n
        if(f(i)){ // 如果 i 是素数
            for(int j = i; j <= n; j++) 
                dp[j] += dp[j - i]; // 完全背包：用素数 i 更新 dp[j]
        }
    }

🔄 核心逻辑说明：

外层循环 ：遍历所有可能的素数 i（从 2 到 n）
内层循环 ：j = i to n（正序！ ）
- 正序是完全背包的标志（允许重复使用）
- dp[j] += dp[j - i]：表示在已有方案基础上，加入一个 i

✅ 为什么这样不会重复计数？

因为我们按素数从小到大依次加入

所有方案都以"非递减素数序列"形式生成

例如：2+2+3 会被生成，但 3+2+2 不会（因为 3 在 2 之后才被考虑）

cpp 复制代码

    cout << dp[n]; // 输出组成 n 的方案总数
    return 0;
}

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
`dp[0] = 1`	组合计数问题的标准起点
素数判断范围	只需判断 `2..n`，因为大于 n 的素数不可能用于组成 n
内层正序	完全背包特征，允许多次使用同一素数
外层素数顺序	保证组合无序，避免 `2+5` 和 `5+2` 被重复计算
数据类型	用 `long long` 防止方案数溢出（n=1000 时方案数可达数百万甚至更多）

📊 补充：为什么这是"完全背包"？

背包类型	物品使用次数	内层循环方向
0-1 背包	每件最多1次	倒序
完全背包	每件无限次	正序

本题中，每个素数可用任意多次 （如多个 2），所以是完全背包。

总结：问题与解法对应

题目要求	DP 设计
分解为素数之和	物品 = 所有 ≤n 的素数
允许重复	完全背包
不考虑顺序	外层遍历素数（从小到大）
求方案总数	`dp[j] += dp[j - p]`，初始化 `dp[0]=1`