文章目录
- [1、 AVL树的定义](#1、 AVL树的定义)
- [2、 AVL树节点](#2、 AVL树节点)
- [3、 AVL树的插入：插入+平衡调整](#3、 AVL树的插入：插入+平衡调整)
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- （1）插入
- （2）旋转操作修复平衡
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- [1. 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧](#1. 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧)
- [2. 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧](#2. 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧)
- [3. 左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧](#3. 左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧)
- [4. 右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧](#4. 右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧)
- [4、 AVL树的验证：确保结构正确](#4、 AVL树的验证：确保结构正确)
- [5、 AVL树的删除（了解）](#5、 AVL树的删除（了解）)
- [6、 AVL树的性能分析](#6、 AVL树的性能分析)
- [7. 二叉搜索树与AVL树的对比](#7. 二叉搜索树与AVL树的对比)
1、 AVL树的定义
AVL树本质上是一棵"高度平衡"的二叉搜索树，定义如下：
- 要么是空树；
- 左右子树都是AVL树；
- 左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1，平衡因子的取值只能是-1、0、1。
平衡因子定义为：平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度 。通过这个约束，AVL树确保了树的高度始终保持在 O(log2 N) 级别，因此查找、插入、删除的时间复杂度都稳定在O(log2 N)，解决了二叉搜索树退化为单支树的问题。
2、 AVL树节点
为了方便维护平衡因子，AVL树的节点在二叉搜索树节点的基础上，增加了平衡因子属性，同时保留了双亲指针.
java
class TreeNode {
public TreeNode left = null;
public TreeNode right = null;
public TreeNode parent = null;
public int val = 0;
public int bf = 0; // 平衡因子：右子树高度 - 左子树高度
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}平衡因子只是维护AVL树平衡的一种实现方式，并非必须------也可以通过直接计算左右子树高度来判断平衡状态，但平衡因子能让判断更高效。
3、 AVL树的插入：插入+平衡调整
AVL树的插入过程分为两步：按二叉搜索树规则插入新节点 , 调整平衡因子并修复不平衡。
（1）插入
- 按二叉搜索树规则插入新节点，新节点作为叶子节点插入；
- 向上更新平衡因子：新节点插入后，其双亲节点的平衡因子一定会发生变化，需要从新节点的双亲开始，向上逐层更新平衡因子：
- 若新节点插入到双亲的左子树，双亲的平衡因子减1；
- 若新节点插入到双亲的右子树，双亲的平衡因子加1；
- 判断平衡状态：更新后，双亲节点的平衡因子会出现三种情况，对应不同的处理方式：
- 平衡因子为0：说明插入前双亲的平衡因子为±1，插入后被调整为0，树的高度未变化，无需继续向上更新，插入成功；
- 平衡因子为±1：说明插入前双亲的平衡因子为0，插入后高度增加1，需要继续向上更新其祖父节点的平衡因子；
- 平衡因子为±2：说明当前子树已经不平衡，需要通过旋转操作修复平衡，修复后无需继续向上更新（旋转后子树高度与插入前一致）。
（2）旋转操作修复平衡
当节点的平衡因子为±2时，必须通过旋转操作让子树重新平衡。根据新节点插入位置的不同，旋转分为四种情况，核心原则是：通过旋转降低较高子树的高度，提升较低子树的高度，同时保持二叉搜索树的性质。
1. 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧
适用场景：当前不平衡节点（设为parent）的平衡因子为-2（左子树更高），且其左子树（设为subL）的平衡因子为-1（新节点插入subL的左侧）。
旋转逻辑：
- 将subL的右子树（subLR）作为parent的左子树（若subLR不为空，更新其双亲为parent）；
- 将parent作为subL的右子树；
- 更新parent和subL的双亲指针（若parent是根节点，更新根为subL；否则将subL挂载到parent原双亲的对应位置）；
- 旋转后，parent和subL的平衡因子均重置为0。
代码实现：
java
private void rotateRight(AVLTreeNode parent) {
AVLTreeNode subL = parent.left;
AVLTreeNode subLR = subL.right;
// 1. 处理subLR
parent.left = subLR;
if (subLR != null) {
subLR.parent = parent;
}
// 2. 处理subL和parent的关系
subL.right = parent;
AVLTreeNode parParent = parent.parent; // 记录parent的原双亲
parent.parent = subL;
// 3. 处理subL与原双亲的关系
if (parent == root) { // parent是根节点
root = subL;
root.parent = null;
} else { // parent是子树
if (parParent.left == parent) {
parParent.left = subL;
} else {
parParent.right = subL;
}
subL.parent = parParent;
}
// 4. 更新平衡因子
subL.bf = 0;
parent.bf = 0;
}2. 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧
适用场景：当前不平衡节点（parent）的平衡因子为2（右子树更高），且其右子树（subR）的平衡因子为1（新节点插入subR的右侧）。
旋转逻辑与右单旋对称：
- 将subR的左子树（subRL）作为parent的右子树；
- 将parent作为subR的左子树；
- 更新双亲指针；
- 平衡因子重置为0。
代码实现：
java
private void rotateLeft(AVLTreeNode parent) {
AVLTreeNode subR = parent.right;
AVLTreeNode subRL = subR.left;
// 1. 处理subRL
parent.right = subRL;
if (subRL != null) {
subRL.parent = parent;
}
// 2. 处理subR和parent的关系
subR.left = parent;
AVLTreeNode parParent = parent.parent;
parent.parent = subR;
// 3. 处理subR与原双亲的关系
if (parent == root) {
root = subR;
root.parent = null;
} else {
if (parParent.left == parent) {
parParent.left = subR;
} else {
parParent.right = subR;
}
subR.parent = parParent;
}
// 4. 更新平衡因子
subR.bf = 0;
parent.bf = 0;
}3. 左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧
适用场景：当前不平衡节点（parent）的平衡因子为-2（左子树更高），且其左子树（subL）的平衡因子为1（新节点插入subL的右侧）。
旋转逻辑：双旋本质是将复杂情况转化为单旋处理------先对subL进行左单旋，再对parent进行右单旋。
具体步骤：
- 对parent的左子树subL执行左单旋，此时新节点的插入位置转化为"较高左子树的左侧"；
- 对parent执行右单旋，完成平衡修复；
- 根据原中间节点（subLR）的平衡因子，调整相关节点的平衡因子：
- 若subLR的平衡因子为-1：旋转后subL的平衡因子为1，parent的平衡因子为0；
- 若subLR的平衡因子为1：旋转后subL的平衡因子为0，parent的平衡因子为-1；
- 若subLR的平衡因子为0：旋转后subL和parent的平衡因子均为0。
代码实现：
java
private void rotateLR(AVLTreeNode parent) {
AVLTreeNode subL = parent.left;
AVLTreeNode subLR = subL.right;
int bf = subLR.bf; // 记录subLR的平衡因子，用于后续调整
// 第一步：对subL左单旋
rotateLeft(subL);
// 第二步：对parent右单旋
rotateRight(parent);
// 调整平衡因子
if (bf == -1) {
subL.bf = 1;
parent.bf = 0;
subLR.bf = 0;
} else if (bf == 1) {
subL.bf = 0;
parent.bf = -1;
subLR.bf = 0;
} else { // bf == 0
subL.bf = 0;
parent.bf = 0;
subLR.bf = 0;
}
}4. 右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧
适用场景：当前不平衡节点（parent）的平衡因子为2（右子树更高），且其右子树（subR）的平衡因子为-1（新节点插入subR的左侧）。
旋转逻辑与左右双旋对称：先对subR执行右单旋，再对parent执行左单旋，最后调整平衡因子。
总结旋转规律：
- 当不平衡节点的平衡因子与较高子树的平衡因子同号时（如parent.bf=-2且subL.bf=-1），执行单旋；
- 当不平衡节点的平衡因子与较高子树的平衡因子异号时（如parent.bf=-2且subL.bf=1），执行双旋。
4、 AVL树的验证：确保结构正确
AVL树的验证需要分两步，既要保证是二叉搜索树，也要保证是平衡树：
（1）验证二叉搜索树特性
通过中序遍历验证，若遍历结果为有序序列，则满足二叉搜索树的性质：
java
public void inorder(AVLTreeNode root) {
if (root == null) return;
inorder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inorder(root.right);
}（2）验证平衡特性
需要检查两个点：①每个节点的平衡因子是否等于"右子树高度 - 左子树高度"；②每个节点的左右子树高度差的绝对值是否不超过1。
代码实现：
java
private boolean isBalance(AVLTreeNode root) {
if (root == null) return true;
// 计算左右子树高度
int leftH = getHeight(root.left);
int rightH = getHeight(root.right);
// 验证平衡因子是否正确
if (rightH - leftH != root.bf) {
System.out.println("节点" + root.val + "平衡因子异常！");
return false;
}
// 验证左右子树高度差不超过1，递归验证子树
return Math.abs(leftH - rightH) <= 1
&& isBalance(root.left)
&& isBalance(root.right);
}
// 辅助方法：计算树的高度
private int getHeight(AVLTreeNode node) {
if (node == null) return 0;
int leftH = getHeight(node.left);
int rightH = getHeight(node.right);
return Math.max(leftH, rightH) + 1;
}5、 AVL树的删除（了解）
AVL树的删除流程与二叉搜索树一致，但删除后需要更新平衡因子，若出现不平衡则进行旋转调整。与插入不同的是，删除操作可能导致平衡问题一直向上传播（最差情况下需要调整到根节点），因此实现更为复杂。
大致步骤：
- 按二叉搜索树规则删除目标节点；
- 从删除节点的双亲开始，向上更新平衡因子；
- 若某节点的平衡因子变为±2，执行相应的旋转操作；
- 继续向上更新，直到根节点或平衡因子恢复为0。
6、 AVL树的性能分析
AVL树的优势在于绝对平衡，确保了查找操作的时间复杂度稳定在 (O(log_2 N))，适合静态数据（数据量不频繁变化）的场景。但它的缺点也很明显：
- 插入和删除操作需要频繁调整平衡因子和旋转，尤其是删除操作，可能需要多次旋转才能恢复平衡，性能开销较大；
- 维护平衡因子需要额外的空间开销。
因此，AVL树更适合"查询多、修改少"的场景，若数据需要频繁插入和删除，红黑树（一种"近似平衡"的二叉搜索树）会是更优选择。
7. 二叉搜索树与AVL树的对比
| 特性 | 二叉搜索树 | AVL树 |
|---|---|---|
| 结构约束 | 无平衡约束 | 左右子树高度差≤1（绝对平衡） |
| 时间复杂度（查找） | 最优(O(log_2 N))，最差(O(N)) | 稳定(O(log_2 N)) |
| 时间复杂度（插入/删除） | 最优(O(log_2 N))，最差(O(N)) | 稳定(O(log_2 N))（需旋转调整） |
| 额外开销 | 无 | 维护平衡因子，插入/删除需旋转 |
| 适用场景 | 数据无序插入、修改少 | 数据需频繁查询、静态或修改少 |