LeetCode 72. Edit Distance 题解

题目描述

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：

复制代码

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse → rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse → rose (删除 'r')
rose → ros (删除 'e')

示例 2：

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输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention → inention (删除 't')
inention → enention (将 'i' 替换为 'e')
enention → exention (将 'n' 替换为 'x')
exention → exection (将 'n' 替换为 'c')
exection → execution (插入 'u')

解题思路

方法：动态规划

思路：

定义 dp[i][j] 为将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需的最少操作数
状态转移方程：
- 如果 word1[i-1] == word2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
- 否则，dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1，分别对应删除、插入和替换操作
初始化：
- dp[i][0] = i，将 word1 的前 i 个字符删除为空字符串所需的操作数
- dp[0][j] = j，将空字符串插入 j 个字符得到 word2 的前 j 个字符所需的操作数

复杂度分析：

时间复杂度：O(m × n)，其中 m 和 n 是两个单词的长度。需要填充一个 m+1 × n+1 的表格。
空间复杂度：O(m × n)，需要一个 m+1 × n+1 的表格来存储状态。

代码实现

方法：动态规划

python 复制代码

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m = len(word1)
        n = len(word2)
        
        # 初始化 dp 表格
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        
        # 初始化第一行和第一列
        for i in range(m + 1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(n + 1):
            dp[0][j] = j
        
        # 填充 dp 表格
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
        
        return dp[m][n]

测试用例

测试用例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

输出：3

测试用例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

输出：5

测试用例 3：

输入：word1 = "", word2 = "a"

输出：1

测试用例 4：

输入：word1 = "a", word2 = ""

输出：1

总结

本题是动态规划的经典问题，主要考察对状态定义和状态转移方程的理解。通过动态规划，我们可以高效地计算出将一个单词转换为另一个单词所需的最少操作数。

动态规划的核心思想是：通过填充一个二维表格，记录将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需的最少操作数。根据当前字符是否匹配，选择不同的操作策略。

这种方法不仅适用于编辑距离问题，还可以应用于许多其他需要比较两个序列的问题，例如最长公共子序列、最长回文子串等。掌握动态规划的思想，对于解决这类问题非常重要。